Resistenza a flessione degli ingranaggi: non si trascuri l’effetto dimensionale!

La miniaturizzazione è una tendenza sempre più diffusa in molti settori industriali. Come altri, anche l’industria automobilistica sta spingendo la progettazione dei suoi componenti verso soluzioni sempre più compatte, leggere, efficienti e affidabili. Sulla base delle evidenze sperimentali e dei dati aggiuntivi presi da letteratura, nonché sulla base di studi passati presentati dal gruppo di ricerca dell’autore, viene proposta una formula estesa per quanto riguarda il fattore dimensionale YX (secondo la normativa ISO 6336).

Negli ultimi anni, la miniaturizzazione sta emergendo come una tendenza globale. La miniaturizzazione dei sistemi meccanici, almeno nel settore automobilistico, è spinta dalle sempre più severe restrizioni ambientali come gli standard EuroX; ridurre le dimensioni e il peso della trasmissione ha infatti un impatto significativo sui consumi di carburante e sulle emissioni inquinanti [1],[2]. In altri settori come la meccatronica, la compattezza e la densità di potenza sono aspetti fondamentali per aumentare l’efficacia dei robot [3]-[7]. In queste, come in molte altre applicazioni, il design degli ingranaggi si sta spostando su moduli sempre più piccoli, anche molto al di sotto della soglia dei 5 mm [8]-[10].

Per la progettazione di ingranaggi sono disponibili molti standard, tra cui la norma europea ISO 6336 [11], la tedesca DIN 3990 [12] e l’americana ANSI/AGMA 2001 [13].
Tuttavia, gli approcci europei e tedeschi si basano su prove sperimentali effettuate su ingranaggi aventi un modulo normale mn = 5 mm. In passato, Steutzger [14]ha dimostrato che un aumento delle dimensioni dell’ingranaggio favorisce una diminuzione della capacità di carico al piede. Sebbene questo effetto sia ben supportato dall’evidenza per moduli oltre 5 mm [15]-[18], pochi dati sono ad oggi disponibili al di sotto di tale soglia[19]. Se questo effetto fosse confermato, una conclusione diretta sarebbe che gli ingranaggi aventi modulo inferiore a 5 mm risultino sempre sovradimensionati se progettati sulla base delle normative attuali. L’obiettivo è verificare se per moduli piccoli sia effettivamente possibile definire un fattore che tenga conto di questo aspetto.

Il principio di funzionamento delle norme per ingranaggi come la ISO 6336 [11]e la DIN 3990 [12]si basa sul confronto tra lo sforzo σF che si verifica nel componente e una sollecitazione ammissibile σFP.

Il calcolo della sollecitazione effettiva σF per ingranaggi cilindrici si basa sulla teoria di Saint-Venant: i denti sono idealizzati come mensole caricate a sbalzo da una forza tangenziale Tt che formi con l’asse del dente un angolo αFen (Figura 1).

La definizione della dimensione cordale della sezione critica sFn e del braccio di flessione hFe riferite alla condizione di applicazione del carico nel punto più esterno del contatto singolo è mostrata in Figura 1.

La sollecitazione effettiva può essere calcolata con l’Eq.1.

σ_F=K_A∙K_V∙K_Fβ∙K_Fα∙F_t/(b∙m_n )∙Y_F∙Y_S [1]

In YF, è definito come in Eq.2,

Y_F=((6h_Fe)/m_n cos⁡〖α_Fen 〗)/((s_Fn/m_n )^2 cos⁡〖α_n 〗 ) [2]

è il fattore di forma. YF tiene conto dell’effetto della forma del dente considerando che il carico venga appunto applicato nel punto più esterno del contatto singolo. YS è il fattore di correzione della sollecitazione, che considera gli effetti di intaglio dovuti alla variazione della sezione al piede e viene utilizzato per compensare gli errori introdotti dal metodo utilizzato per determinare la sezione più critica (linee oblique come prescritto dalla ISO 6336Figura 1 è definito come in Eq.3

Y_S=(1.2+0.13L)∙q_s^(1/(1.21+2.3/L)) [3]

dove (Eq.4)

q_s=s_Fn/(2∙ρ_F ) [4]

è la sensibilità all’intaglio e L è definita come in Eq.5

L=s_Fn/h_Fe [5]

Il fattore KA, denominato fattore di applicazione, viene utilizzato per tenere conto dell’effetto dei sovraccarichi esterni. Dipende dall’applicazione specifica. Il fattore dinamico KV considera i carichi dinamici interni. I fattori KFβ e KFα vengono utilizzati per modellare la distribuzione non uniforme del carico lungo la larghezza di fascia e nella direzione trasversale. Ciò può essere causato, ad esempio, da errori di produzione o deformazioni sotto carico.

Come detto, la sollecitazione σF è da confrontare con la sollecitazione ammissibile σFP (Eq.6). Il valore limite per la sollecitazione al piede dovrebbe preferibilmente essere ottenuto da prove sperimentali che utilizzino ingranaggi come provini. In questo modo, la maggior parte degli effetti, come ad esempio quello dato da eventuali intagli, sono automaticamente inclusi nei risultati. Secondo la normativa ISO 6336 – Metodo B, la sollecitazione ammissibile σFP può essere calcolata a partire dal limite σFLIM del materiale, opportunamente corretto per tenere conto del trattamento termico e della rugosità superficiale.

σ_FP=σ_Flim∙Y_ST∙Y_NT∙Y_δrelT∙Y_RrelT∙Y_X [6]

YST e YNT sono rispettivamente il fattore di correzione delle sollecitazioni e il fattore di durata. YδrelT è il fattore di sensibilità all’intaglio mentre YRrelT è il fattore di superficie. Infine, YX è il fattore dimensionale, che viene utilizzato per considerare l’influenza delle dimensioni dei denti sulla capacità di carico. Esso considera l’influenza delle dimensioni sulla probabile distribuzione dei punti deboli nella struttura del materiale, i gradienti di sforzo (che in conformità con la teoria della resistenza dei materiali [20], [21], diminuiscono all’aumentare delle dimensioni), la qualità del materiale e l’efficacia della forgiatura, la presenza di difetti… [11]. Secondo lo standard ISO 6336 – Metodo B, il fattore dimensionali può essere determinato in funzione del materiale e del modulo normale secondo la Tabella 1.

Si può apprezzare come, indipendentemente dal materiale considerato, il fattore dimensionale sia sempre uguale a 1.0 per ingranaggi aventi un modulo inferiore a 5 mm. Dobler et al. [19] hanno eseguito test sistematici su ingranaggi di piccole dimensioni realizzati in 16MnCr5 e aventi un modulo normale compreso tra mn = 0.45 ÷ 0.6 mm. Gli ingranaggi sono stati cementati a 700-750 HV. La profondità di trattamento (550 HV) variava da 0.1 a 0.2 mm. Infine, gli ingranaggi sono stati finiti ad una qualità < 5 secondo DIN 3962 [22]. Tutte le prove sono state eseguite su un banco back-to-back di piccole dimensioni con un rapporto di riduzione pari a 57/58. Sulla base di 20 prove [23]–[26], è stata proposta un’espressione modificata per il fattore dimensionale YX per gli acciai (Eq.7).

〖Y_X〗_Dobler=1-0.45∙log⁡〖(m_n/5)±0.075〗 [7]

Questa formulazione si basa sui dati secondo FVA 162/I [26], FVA 271 [25], FVA 410/I [23] e Jeong [24] e mostra un coefficiente di determinazione R2 = 0.9339. È interessante notare come, secondo il modello proposto da Dobler et al., basato su diversi risultati disponibili in letteratura, per moduli maggiori di 5 mm la capacità di carico diminuisca. L’effettiva formulazione degli standard (ISO 6336 e DIN 3990) invece, non risulta allineata al comportamento sperimentale osservato (R2 = – 0.2203 riferito alla curva Eh).+

Materiali e metodi: ingranaggi con modulo pari a 2 mm

Per valutare l’influenza della dimensione dell’ingranaggio sulla capacità di carico a la flessione, sono state eseguite prove STBF (Single Tooth Bending Fatigue) [27] su un ingranaggio con modulo normale mn = 2 mm realizzato in 39NiCrMo3. Le prove sono state eseguite su un pulsatore elettromeccanico STEPlab UD04 in grado di applicare fino a 5 kN. Per queste prove, è stato messo a punto un apparato speciale composto da 2 punzoni, una forcella di supporto ed un perno di centraggio (Figura 2). I test sono stati effettuati sfruttando la distanza Wildhaber W5 [28] così da caricare contemporaneamente due denti assicurando che le forze di contatto risultassero da un lato parallele e coassiali tra loro, dall’altro perpendicolari ai fianchi dei denti. In questo modo, durante la prova, l’attrito tra punzoni e fianchi dell’ingranaggio risulta sufficiente a mantenere il provino in posizione senza la necessità di supporti esterni. La forcella ed il perno di centraggio sono quindi necessari durante la sola fase di montaggio per garantire che i punti di contatto tra i fianchi dell’ingranaggio ed i punzoni siano nelle posizioni corrette. Per contro, con questa configurazione non è possibile eseguire test mantenendo il rapporto di sollecitazione R = 0 come nel caso di funzionamento reale di un ingranaggio. Un carico minimo di compressione deve essere sempre presente per garantire che l’ingranaggio rimanga nella posizione corretta [29]. Sulla base dei dati di letteratura [30]–[34], un valore di R = 0.1 sembra essere sufficiente per garantire che non vi sia alcun movimento indesiderato.

La Tabella 2 riassume le proprietà geometriche dei provini. La qualità dell’ingranaggio è 5 secondo DIN 3962 [22] (EN).

I test sono stati eseguiti secondo l’approccio short stair-case [35]. Se un test a un certo livello di forza Fi si è concluso con un cedimento, la forza per il test successivo viene ridotta di ΔF. Se il test si è concluso con un run-out (il campione sopravvive a 5 M di cicli) la forza viene aumentata di ΔF. L’intervallo di forza è stato impostato su 100 N.

Per post elaborare i risultati si è usato il metodo “up-and-down per piccoli campioni con due campioni in serie” secondo Little [36]. Si basa sul lavoro originale di Dixon [37] che consente la stima del limite di fatica partendo da un piccolo numero di campioni grazie a un approccio statistico. Questo lavoro è stato successivamente esteso da Little per tener conto dell’effetto di un montaggio in serie dei campioni. Un test STBF è un esempio di tipico di questa configurazione.

Il cedimento a fatica si verifica generalmente prima di 1M di cicli aventi la stessa ampiezza. Tuttavia, è prassi comune selezionare una durata arbitraria del test (Run Out) maggiore di 1M. In questo modo, una parte sostanziale del tempo di test viene spesa in una regione in cui il cedimento è improbabile (avendo superato il milione di cicli), ma la condizione di Run Out (ad esempio, 5M) non è ancora stata raggiunta. Interrompere le singole prove quando il primo campione cede (uno dei 2 denti dell’ingranaggio testati) significa risparmiare tempo, ma anche perdere informazioni sulla risposta successiva (se del caso) del secondo dente. Il metodo proposto da Little tiene conto statisticamente di questo effetto.
Il limite di fatica FFPSTB50% è stato stimato in accordo all’Eq.8.

F_(FP_(STBF50%) )=F_1+k∙ΔF [8]

dove k è un parametro statistico che dipende dalla sequenza Cedimento (F) – Run Out (RO).

 

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