Il comportamento dei cuscinetti pneumatici può essere predetto con buona accuratezza mediante modelli numerici basati sulle equazioni di Reynolds. Al fine di semplificare la descrizione del funzionamento di questi dispositivi e ridurre i tempi di calcolo, possono essere vantaggiosamente adoperati modelli numerici a parametri concentrati.
I modelli numerici sono diventati uno strumento indispensabile nella progettazione dei dispositivi in ogni ambito tecnologico. Nel campo dei cuscinetti pneumatici le caratteristiche di interesse sono la portanza, il consumo d’aria, la rigidezza e lo smorzamento del film d’aria. Il flusso attraverso i fori di alimentazione è ben espresso dalla nota formula di portata isentropica per i gas e approssimata dalla formula ISO 6358; il flusso nel sottile meato d’aria è edficacemente descritto dalle equazioni di Reynolds. L’integrazione numerica delle equazioni di Reynolds permette di ottenere la distribuzione di pressione sulla superficie di spinta del cuscinetto e quindi calcolare le caratteristiche di interesse [1-4].
I risultati più vicini al comportamento reale si ottengono con i modelli a parametri distribuiti, dove il campo di pressione è calcolato su una griglia opportunamente disegnata che ricopre la superficie di spinta del cuscinetto. Ai nodi della griglia sono applicate le equazioni di Reynolds e a ogni nodo corrisponde un’incognita, cioè la pressione dell’aria in quel punto. L’accuratezza del risultato è tanto migliore quanto maggiore è il numero di nodi. Per le geometrie più semplici la definizione della griglia e la soluzione delle equazioni possono essere ottenute con la scrittura di listati autoprodotti, ottenuti sulla base della specifica tipologia del cuscinetto in esame.
Nei sistemi più complessi può essere conveniente utilizzare strumenti di calcolo commerciali, più versatili perché gli algoritmi risolutivi delle equazioni, già preparati, si adattano automaticamente a differenti geometrie senza la necessità di scrivere listati dedicati a specifici casi. Ultimamente sono anche disponibili software commerciali che considerano simultaneamente differenti domini fisici (fluidodinamico, termico, strutturale) per una più accurata simulazione dei sistemi reali. Tali strumenti risultano particolarmente utili in fase di ottimizzazione del prodotto.
Se il numero di nodi della mesh è relativamente alto i tempi di calcolo possono essere piuttosto lunghi, anche di diverse ore. Per calcolare rapidamente le prestazioni dei cuscinetti si possono utilizzare modelli numerici a parametri concentrati, cioè con un ridottissimo numero di incognite (in genere poche unità). In questo modo la precisione del modello si riduce ma è comunque possibile ottenere risultati vicini a quelli dei modelli a parametri distribuiti se si identifica la distribuzione di pressione con opportune formule correttive sperimentali studiate caso per caso. Tali formule sono funzioni della geometria del cuscinetto e della tipologia del sistema di alimentazione (numero e distribuzione dei fori sulla superficie del cuscinetto, presenza o meno di ragnature).
Oltre alle caratteristiche statiche è importante valutare il comportamento dinamico del cuscinetto; ad una data pressione di alimentazione si impone una variazione periodica dell’altezza del meato e si calcolano rigidezza e smorzamento del film d’aria in funzione della frequenza di applicazione della forzante. Tali parametri possono essere ottenuti ancora più rapidamente mediante linearizzazione delle equazioni di portata e di continuità. Con i modelli a parametri concentrati il ridotto numero di equazioni non solo migliora la rapidità di calcolo ma permette di scrivere formule analitiche semplici, adatte quindi alla comprensione del comportamento dei cuscinetti.
Di seguito sono presentati i modelli a parametri concentrati adottati per simulare il comportamento statico e dinamico di due pattini pneumostatici rettangolari con differente sistema di alimentazione. A dimostrazione della validità dei modelli, i principali risultati numerici sono confrontati con quelli dei modelli a parametri distribuiti o con quelli ottenuti sperimentalmente.
Pattino pneumostatico multiforo
La Figura 1 mostra la geometria del primo pattino esaminato. Si tratta di un pattino rettangolare, di dimensioni Lx, Ly, lungo le direzioni x, y. È dotato di più fori di alimentazione di diametro d lungo linee parallele ai bordi. Posta la distanza tra due fori consecutivi pari a w e posta la distanza dei fori dai bordi del pattino pari a l, sia lungo la direzione x che lungo la direzione y, risultano le dimensioni Lx, Ly [5-7].
La Figura 2 mostra la distribuzione di pressione del modello a parametri concentrati adottato. V e V sono i volumi del meato, sotto al pattino, uno interno e l’altro esterno alla linea immaginaria tratteggiata distante l dai fori di alimentazione. La pressione del meato d’aria è pari a P1 all’interno del volume V1, è pari a P2 lungo la linea che unisce i fori di alimentazione, è pari a P (pressione di scarico) ai bordi del pattino.
La Figura 3 mostra le principali formule adoperate nel modello di questo pattino. C1 è la conduttanza degli N fori di alimentazione (Nx e Ny sono rispettivamente i numeri dei fori di alimentazione in direzione x e in direzione y), Gin è la portata in massa di aria attraverso secondo la formulazione ISO 6358, T è la temperatura, T è la temperatura di riferimento (293 K), R = 287 J kg-1 K è la costante dei gas, PS è la pressione assoluta di alimentazione del pattino, P è la pressione immediatamente a valle dei fori di alimentazione (all’ingresso del meato), Φ è un coefficiente che dipende dal rapporto delle pressioni di monte e di valle dei fori, in condizioni di flussosonico (P/P ≤ 0.528) Φ è pari a 0; c è il coefficiente di efflusso che dipende dalla geometria dei fori e dal numero di Reynolds [10].
In condizioni statiche le pressioni P1, P2 sono tra loro uguali e pari ad una pressione P0, uniforme su tutto la superficie rettangolare interna ai fori di alimentazione. Per questa tipologia di pattino la pressione P è stata identificata sperimentalmente come una funzione della pressione Pc e del rapporto w/l (in Figura 3 è mostrata la formula).
G1 e G2 sono le portata d’aria in massa nel meato, rispettivamente passanti da V1 a V2, e da V2 allo scarico esterno. Applicando le equazioni di continuità delle portate ai volumi di controllo V1 e V2, (in Figura 3 ne è mostrata la forma sintetica) si ottiene un sistema di due equazioni non lineari risolvibile numericamente. Si ottengono così le pressioni P1, P2; nota la geometria del cuscinetto si calcola infine la forza F di spinta sul pattino.
