Scopriamo come il regolo, strumento simbolo di generazioni di ingegneri, ha consentito lo sviluppo dell’industria e della tecnologia.
Prima del cellulare, c’erano le calcolatrici elettroniche; prima di loro, le calcolatrici meccaniche. E prima ancora, quando i disegni venivano fatti a china su fogli di carta lucida, c’era il regolo calcolatore. Uno strumento all’apparenza semplice, composto nella sua versione più basica da una scala fissa e una mobile. Robert A. Heinlein, autore della citazione qui sopra, prima di diventare un ottimo scrittore di fantascienza era ingegnere aeronautico. La frase che fa dire al giovane protagonista Kip rappresenta bene l’orgoglio e l’affetto che lui e i colleghi provavano per questo strumento. Lo usavano in ogni ambito: dalle locomotive ai viadotti, dalla statistica alla navigazione, fino alle astronavi. Questo strano righello ha infatti un curriculum di tutto rispetto, ed è stato usato per secoli per ogni tipo di progetti e applicazioni. Nella sua cristallina eleganza è stato lo strumento di calcolo quotidiano per generazioni di ingegneri. Per funzionare unisce le due forze più potenti al mondo: la matematica e il cervello umano. Un connubio talmente potente da mandarci sulla Luna. Ma cos’è il regolo calcolatore?
Il regolo calcolatore, per la precisione, è un calcolatore analogico meccanico manuale. Il suo principio di funzionamento si basa sui logaritmi, strumenti matematici sviluppati all’inizio del 17° secolo dallo scozzese John Napier.
Abbiamo incontrato Mr. Napier alle scuole superiori, sotto il nome italianizzato di Nepero. Le proprietà dei logaritmi consentono, tra le altre cose, di trasformare le moltiplicazioni in addizioni e le divisioni in sottrazioni, semplificando enormemente la mole di calcoli. Una scoperta che ha aperto le porte alla matematica moderna, all’astronomia, alla tecnologia, e alla Rivoluzione Industriale.
Com’è fatto un regolo calcolatore
I regoli calcolatori sono realizzati in molte forme differenti; solitamente hanno una forma lineare o circolare con scale graduate incise. Solitamente si compongono di tre parti:
- una base chiamata “fisso” con delle scale non scorrevoli, solitamente poste all’esterno;
- una o più aste scorrevoli poste all’interno delle scale fisse.
- una finestra trasparente chiamata cursore, che può scorrere sull’intera larghezza del regolo. La finestra è dotata di una o più linee sottili, che servono per leggere la corrispondenza tra scale non adiacenti o come una sorta di “memoria” per risultati intermedi.
Alcuni regoli sono graduati su entrambi i lati del fisso e dell’asta scorrevole per aumentare le scale disponibili.
Essendo uno strumento analogico, la precisione di un regolo è proporzionale soprattutto al numero di suddivisioni.
Una scala più fitta comporta però una lettura più difficile, quindi per ottenere un maggior numero di cifre significative bisogna ricorrere a scale di dimensioni maggiori. Per contenere l’ingombro sono stati realizzati regoli circolari, con le scale disposte sulla circonferenza o a spirale, e regoli cilindrici con le scale arrotolate ad elica. Esistono molte scale differenti, a seconda dei calcoli da effettuare o del settore specifico, come per esempio quelle dedicate alla finanza, all’elettronica o all’aviazione.
Come usare il regolo calcolatore
In generale, i calcoli matematici vengono eseguiti allineando un segno sulla barra centrale scorrevole con un segno su una delle barre fisse, e poi osservando le posizioni relative di altri segni sulle barre. I numeri allineati con i segni danno il valore approssimativo del prodotto, quoziente o altro risultato calcolato. L’utente deve poi determinare la posizione del punto decimale nel risultato, basandosi su una stima mentale. La notazione scientifica è usata per tracciare il punto decimale in calcoli più formali. Addizioni e sottrazioni sono generalmente fatte a mente o su carta, non sul regolo calcolatore. Paradossalmente, è più semplice calcolare un prodotto che un’addizione o una sottrazione. A prescindere dal settore, il regolo veniva usato soprattutto per moltiplicazioni e divisioni. A questo scopo si usavano le scale logaritmiche C e D: è sufficiente allineare le due scale per leggere la somma dei logaritmi, e quindi calcolare il prodotto dei due numeri.
Per esempio, per calcolare 3×2, si posiziona l’1 della scala superiore sopra il 2 della scala inferiore. Poi si va a guardare il 3 della scala superiore: il risultato, 6, si trova sulla scala inferiore in corrispondenza del 3. Per la divisione si usa lo stesso procedimento, ma leggendo in ordine inverso.
Le operazioni possono andare “fuori scala”; per esempio, il diagramma sopra mostra che il regolo calcolatore non ha posizionato il 7 sulla scala superiore sopra un numero sulla scala inferiore, quindi non dà alcuna risposta per 2×7. In questi casi, l’utente può far scorrere la scala superiore verso sinistra fino a quando il suo indice destro si allinea con il 2, dividendo effettivamente per 10 (sottraendo l’intera lunghezza della scala C) e poi moltiplicando per 7, come nella figura qui sotto:
Volevamo trovare 2×7, ma di fatto abbiamo calcolato 0,2×7 = 1,4 (triangolo rosso) invece di ottenere 14, non 1,4. L’utente del regolo calcolatore deve ricordarsi di regolare la virgola decimale in modo appropriato per correggere la risposta finale. Questo perché di fatto il regolo calcolatore usa la notazione scientifica: le operazioni però coinvolgono solo le mantisse e non gli esponenti. Spostare lo scorrevole non è l’unico modo per gestire le moltiplicazioni che porterebbero a risultati fuori scala, come 2×7; altri metodi usano scale alternative o regoli circolari.
L’illustrazione qui sotto mostra uno dei modi per calcolare il risultato di 5,5÷2. Il 2 sulla scala superiore è posto sopra il 5,5 sulla scala inferiore. L’1 sulla scala superiore si trova sopra il quoziente, 2,75.
Uno strumento per tutte le occasioni
Oltre alle scale logaritmiche, alcuni regoli calcolatori hanno altre funzioni matematiche codificate su altre scale ausiliarie. Le più popolari sono le scale trigonometriche, di solito seno e tangente, logaritmo comune (log10) (per ottenere il logaritmo di un valore), logaritmo naturale (ln) ed esponenziale (e^x). Alcune regole includono una scala pitagorica (“P”), per calcolare i lati dei triangoli, e una scala per calcolare i cerchi. Altri presentano scale per il calcolo di funzioni iperboliche. Sui regoli lineari, le scale e la loro etichettatura sono altamente standardizzate, con variazioni che di solito si verificano solo in termini di quali scale sono incluse e in quale ordine.
Le più usate sono:
- A, B: scale logaritmiche a due decadi, ciascuna delle quali è la metà della lunghezza delle scale C e D. Usate per trovare quadrati e radici quadrate.
- C, D: scale logaritmiche a una decade, con sezioni singole della stessa lunghezza, usate insieme per la moltiplicazione e la divisione. Generalmente una di esse è combinata con un’altra scala per altri calcoli.
- K: scala logaritmica a tre decadi, ognuna delle quali è un terzo della lunghezza delle scale C e D; usata per trovare cubi e radici cubiche
- CF, DF: versioni “ripiegate” delle scale C e D che partono da π piuttosto che da 1. Utili quando l’utente stima che un prodotto sarà vicino a 10 e non è sicuro se sarà leggermente inferiore o leggermente superiore a 10: le scale ripiegate evitano la possibilità di andare fuori scala. Inoltre è più facile moltiplicare e dividere per π (operazione frequente in ingegneria).
- CI, DI, CIF, DIF: Scale “invertite”, che vanno da destra a sinistra, usate per calcolare il reciproco (1/x)
- S: usata per trovare seni e coseni sulla scala C (o D)
- T, T1, T2: per trovare tangenti e cotangenti sulle scale C e CI (o D e DI)
- ST, SRT: per i seni e le tangenti di piccoli angoli e la conversione gradi-radianti
- Sh, Sh1, Sh2: per trovare i seni iperbolici sulla scala C (o D)
- Ch: per trovare i coseni iperbolici sulla scala C (o D)
- Th: per trovare le tangenti iperboliche sulla scala C (o D)
- L: scala lineare, usata insieme alle scale C e D per trovare logaritmi in base 10 e potenze di 10
- LLn: scale logaritmiche, usate per trovare logaritmi ed esponenziali di numeri
- Ln: scala lineare, usata insieme alle scale C e D per trovare i logaritmi naturali (base e) ed e^x
Se volete cimentarvi nell’uso del regolo calcolatore, ne trovate una versione virtuale all’indirizzo https://www.sliderules.org/
I regoli calcolatori nella storia
L’invenzione del regolo calcolatore risale al 1622, per opera del reverendo William Oughtred, con il contributo successivo di altri matematici. Nel 1722, Warner introdusse le scale a due e tre decadi, e nel 1755 Everard incluse una scala invertita; un regolo calcolatore che contiene tutte queste scale è solitamente conosciuto come un regolo “polifase”.
Nel 1815, Peter Mark Roget inventò il regolo calcolatore logaritmico, che includeva una scala che mostrava il logaritmo del logaritmo.
Questo permetteva all’utente di eseguire direttamente i calcoli che coinvolgevano radici ed esponenti. Nel XIX secolo, con l’espansione dei commerci oceanici, vengono introdotte le funzioni trigonometriche, le scale di log-seno e log-tangente, e scale astronomiche per risolvere problemi di navigazione marittima.
Nel 1881, l’inventore statunitense Edwin Thacher introdusse il suo regolo cilindrico, che aveva una scala molto più lunga dei regoli lineari standard e quindi poteva calcolare con maggiore precisione: circa quattro o cinque cifre significative.
Tuttavia, il regolo Thacher era abbastanza costoso e ingombrante, e non vide una grande diffusione. Anche l’astronomia richiedeva calcoli precisi: nella Germania del XIX secolo, in un osservatorio veniva usato un regolo calcolatore in acciaio lungo circa due metri. Il microscopio del quale era dotato consentiva una precisione di sei cifre decimali. La diffusione della professione dell’ingegnere e del progettista, unita all’espansione del commercio e della finanza, contribuì al successo del regolo. Il suo uso si estese a tutti gli ambiti, dal commercio alla balistica, grazie alla facilità d’uso, alla capacità di funzionare in qualsiasi condizione, e al basso costo. Questi fattori hanno fatto sì che il suo uso continuasse a crescere anche dopo l’introduzione dei primi computer mainframe, all’epoca appannaggio di pochi eletti. Neppure le calcolatrici meccaniche ed elettromeccaniche da tavolo dell’epoca hanno visto una diffusione paragonabile, anche a causa del maggiore costo e ingombro.
Per tutti gli anni ‘50 e ‘60, il regolo calcolatore era il simbolo della professione di ingegnere, tanto quanto lo stetoscopio è quello della professione medica.
Nelle università era frequente vedere ingegneri e studenti che portavano il regolo appeso alla cintura. Molti tenevano a casa o in ufficio un regolo da 25 o 50 cm per i lavori di precisione, ma non uscivano di casa senza un piccolo regolo da 10-12 cm in tasca.
Solamente l’introduzione della calcolatrice scientifica da parte della Hewlett-Packard, nel 1972, riuscì a rendere rapidamente obsoleto questo strumento. Nel giro di pochi anni, la maggior parte dei produttori abbandonò quel segmento di mercato. Da un giorno all’altro, l’impero secolare del regolo calcolatore era tramontato.
L’unica nicchia che in parte resiste è l’aeronautica: molti piloti imparano a calcolare deriva del vento, traiettoria, consumi di carburante, e tempi di volo con un regolo calcolatore specializzato chiamato E6B. All’atto pratico, anche qui l’elettronica ne ha ormai soppiantato l’uso quotidiano; ciononostante le sue caratteristiche di semplicità, leggerezza e robustezza lo rendono un sistema di backup molto valido.
15Va notato che, a dispetto del curriculum illustre, i regoli calcolatori non hanno mai preso piede tra il grande pubblico. L’addizione e la sottrazione non sono operazioni ben supportate sui regoli calcolatori e fare un calcolo su un regolo calcolatore tende ad essere più lento che su una calcolatrice. Questo ha portato gli ingegneri a usare equazioni matematiche che favorivano le operazioni facili da eseguire su un regolo calcolatore, rispetto a funzioni più accurate ma complesse; queste approssimazioni potevano portare a imprecisioni ed errori nei progetti.
Come abbiamo visto, il regolo calcolatore richiede all’utente di calcolare separatamente l’ordine di grandezza della risposta per posizionare il punto decimale nei risultati. Per esempio, 1,5 × 30 (che fa 45) mostrerà lo stesso risultato di 1.500.000 × 0,03 (che fa 45.000). Questo calcolo separato costringe l’utente a tenere traccia della grandezza nella memoria a breve termine (che è soggetta a errori), a prendere appunti (che è scomodo) o a pensarci sopra ad ogni passaggio, distraendosi da altri aspetti. In compenso, il funzionamento spaziale e manuale dei regoli calcolatori coltiva nell’utente un’intuizione per le relazioni numeriche e la proporzione che spesso manca alle persone che hanno usato solo calcolatrici digitali.
I regoli calcolatori in alluminio della marca Pickett sono stati portati nelle missioni spaziali del Progetto Apollo. “Siamo andati sulla luna con i regoli calcolatori”, disse l’ingegnere in pensione Norman Chaffee, che lavorava al sistema di propulsione della navicella spaziale. “Ho usato la mia prima calcolatrice solo nel 1972”. Se guardate il film “Apollo 13”, noterete che gli ingegneri del Controllo Missione usano i regoli calcolatori. Buzz Aldrin, secondo uomo sulla Luna con l’Apollo 11, ha usato il suo Pickett N600-ES anche per gli ultimi calcoli prima dell’allunaggio.
Per chi volesse riscoprire o conoscere questo strumento, il sito https://www.sliderulemuseum.com/ è probabilmente il miglior punto di partenza. Nel sito (e in altri portali) trovate anche le istruzioni per realizzare in casa un modello funzionante.
di Marco Basso