Ancora a proposito di analogie…

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Riprendiamo l’argomento parlando questa volta di analogia elettro-meccanica e di analogia elettro-idraulica.

L’analogia elettro-meccanica

L’analogia fra due domini energetici è definita fissando una corrispondenza fra le loro variabili di potenza. Essendo le variabili due, è implicitamente ammesso che l’analogia non sia unica.

L’analogia classica

Nell’analogia piĂą antica (intitolata perciò a Maxwell) e allo stesso tempo piĂą diffusa (perciò detta intuitiva) la tensione corrisponde alla forza e la corrente corrisponde alla velocitĂ . Le Tabelle 1 e 2 danno le corrispondenze fra gli elementi primitivi e dimostrano che le definizioni dell’impedenza sono replicate nei due domini (da cui il terzo nome impedance analogy), ma le formule di combinazione in serie e parallelo sono invertite. Messa all’opera, l’analogia deve trasformare uno schema meccanico nello schema elettrico che abbia lo stesso comportamento. Per descrivere questo processo basta l’esempio semplice della Figura 1a, dove il sistema meccanico composto da uno smorzatore e una massa, collegati in serie, è sottoposto alla variazione a gradino della velocitĂ  nel terminale A dello smorzatore. Il funzionamento è in breve questo: a) quando, da condizioni iniziali di velocitĂ  nulla ovunque, la velocitĂ  nel terminale A risente del gradino la differenza di velocitĂ  rispetto al terminale B (fermo) produce la forza che comincia ad accelerare la massa; b) man ma- no che la massa acquista velocitĂ , la differenza fra le velocitĂ  nei terminali A e B diminuisce insieme alla forza trasmessa alla massa; c) quando la velocitĂ  nel terminale B raggiunge la velocitĂ  nel terminale A la forza si annulla e tutto si muove a velocitĂ  costante. Il metodo piĂą ovvio di generazione dell’analogo elettrico sembra la sostituzione diretta degli elementi primitivi e l’aggiunta di un generatore di corrente a gradino; ne risulterebbe lo schema della Figura 1b dove una resistenza è in serie a un’induttanza. Viste le proprietĂ  degli elementi, il funzionamento dovrebbe essere questo: da condizioni iniziali di corrente nulla, il gradino di corrente nel terminale A si trasmette invariato al terminale B e all’induttanza. Un avvio del genere implica due incongruenze che condannano questo schema: 1) il gradino di corrente causerebbe nell’induttanza una tensione infinita (situazione impossibile); 2) la medesima corrente in tutti gli elementi significherebbe, invertendo l’analogia, velocitĂ  costante nello schema meccanico (situazione assurda). Dall’impasse si esce con lo schema della Figura 1c, dove gli elementi primitivi elettrici sono in parallelo e il funzionamento è: a) da condizioni iniziali di corrente nulla ovunque, il gradino di corrente nel terminale A attraversa la resistenza causando l’aumento della tensione in A e in B; b) la crescita della tensione nel terminale B causa la crescita progressiva della corrente nell’induttanza; c) quando la corrente nell’induttanza uguaglia la corrente della sorgente, la tensione in A e B si annulla e la corrente non attraversa piĂą la resistenza. Così è riprodotto correttamente il comportamento del sistema meccanico. La morale del caso particolare – ma valida in generale – è che l’analogia elettro-meccanica intuitiva o di Maxwell vuole che gli elementi in serie in un dominio siano elementi in parallelo nell’altro e viceversa (si dice anche che gli schemi nei due domini sono duali).

L’analogia moderna

Gli aspetti problematici dell’analogia intuitiva – non ultimo l’avere a che fare con schemi diversi – hanno giustificato nel XX secolo la formulazione dell’analogia detta di Firestone (dal nome del proponente [1]) o mobility analogy, nella quale la tensione corrisponde alla velocitĂ  e la corrente alla forza. La corrispondenza fra gli elementi resistenza non cambia, mentre si inverte per inerzia ed elasticitĂ : la molla si sposa con l’induttore e la massa con il condensatore. Replicando nel dominio meccanico la definizione dell’impedenza elettrica con le variabili coniugate corrispondenti non si ricava l’impedenza meccanica ma l’inverso, cioè la “mobility” (da cui il nome alternativo). La Figura 2 applica al sistema della Figura 1a la nuova analogia, che vuole l’inserimento di un generatore di tensione a gradino. Il funzionamento è in breve questo: a) da condizioni iniziali di tensione nulla ovunque, il gradino di tensione nel terminale A fa crescere la corrente nella resistenza; b) la corrente nella resistenza causa la crescita progressiva della tensione nel terminale B e quindi nel condensatore collegato; c) quando la tensione in B uguaglia quella imposta dal generatore, la corrente si annulla e il sistema resta a tensione costante. Così è riprodotto correttamente il comportamento del sistema meccanico mantenendo la logica di collegamento. Questo perchĂ© nell’analogia moderna corrispondono le variabili “through” e “across” dei due domini, il che non succede nell’analogia classica.

NOTA – Qualunque sia l’analogia scelta, l’elemento che corrisponde alla massa (induttanza o capacità) deve avere uno dei terminali collegato a terra, come imposto dal suo terminale nascosto; a dimostrazione che il dominio meccanico, a differenza di quello elettrico, non può ambire al ruolo di riferimento privilegiato.

 

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