I trattamenti misurati attraverso la complessità frattale

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In questo articolo verificheremo la possibilità di applicare all’ingegneria dei materiali i principi centrali della geometria frattale nello studio delle complesse modifiche microstrutturali introdotte dai trattamenti di indurimento termico.

La geometria frattale deve la sua origine a Mandelbrot e allo sviluppo della tecnologia informatica. Per molti ricercatori, lo studio dei frattali non è solo un nuovo campo di conoscenza esotico che combina aspetti di matematica, fisica teorica, arte e tecnologia informatica, ma soprattutto l’inizio di una vera e propria rivoluzione concettuale. Questa nuova geometria non euclideiana, strana ed imprevista, sembra infatti un ottimo strumento per meglio comprendere il mondo che ci circonda. Inoltre, per quanto ancora poco noti, i frattali sono usciti da tempo dai libri di scuola per andare ad interpretare aspetti complessi della natura, ovunque, in un universo senza limiti.

In questo articolo ci limiteremo a verificare la possibilità di applicare all’ingegneria dei materiali i principi centrali della geometria frattale nello studio delle complesse modifiche microstrutturali introdotte dai trattamenti di indurimento termico. Andremmo quindi a proporre un metodo per determinare quella che è conosciuta come la complessità frattale di un sistema caotico da utilizzare poi per i nostri scopi di indagine. Nello specifico, andremmo a studiare come aspetti quali velocità, temperatura ed angolo di incidenza del fascio laser portino a modificare la microstruttura superficiale in un modo complesso, ma prevedibile proprio attraverso l’uso dei frattali. Le micrografie saranno elaborate attraverso un processo di digitalizzazione delle immagini e di programmazione genetica.

Frattali e dimensione frattale

Il termine “fractal” deriva dalla radice latina “ fract” di “fractare”, ossia rompere, frazione, oppure da “fractus” di smembrato, spezzato, per poi generare l’inglese “fractal”, ossia frazionario. La struttura frattale è formata dalla ripetizione infinita (iterazione) di qualsiasi forma iniziale in una scala decrescente (o crescente) in un algoritmo specifico, cioè secondo una procedura matematica specifica. Questo semplice processo di feedback fornisce una morfogenesi sorprendentemente diversa e originale, spesso simile alla creazione di forme naturali. Pertanto, i frattali sono forme geometriche caratterizzate da principi autosomiglianza, o varianza su larga scala, cioè uniformità su un’ampia gamma di scale. Mandelbrot, il padre dei frattali, offre a questo proposito una definizione molto convincente per comprenderne la loro vera essenza: un frattale è una struttura costituita da parti che sono in un certo senso simili al tutto.

Come è noto, gli oggetti geometrici tradizionali hanno dimensione intera: la linea è unidimensionale, la superficie piana è bidimensionale, la superficie della sfera tridimensionale. Gli oggetti frattali rappresentano qualcosa di diverso, caratterizzati da una dimensione frazionaria. Tale “dimensione frattale” è stata introdotta per la prima volta da Hausdorf e per questo conosciuta come dimensione di Hausdorff-Besikovich. Se la linea euclidea, affiancata e ripetuta, riempie esattamente lo spazio unidimensionale, allora, per analogia la linea frattale va oltre, riempiendo parzialmente uno spazio bidimensionale. Per questo la sua dimensione non può essere considerata intera, ma frazionaria, intermedia tra la dimensione originale della linea e lo spazio bidimensionale nel quale avviene la morfogenesi frattale. Ad esempio, è facile comprendere come a un profilo costiero di tipo frattale possa essere associata una dimensione intermedia tra 1 e 2, mentre la superficie frattale di un terreno montuoso oppure di una nuvola possa assumere una dimensione compresa tra 2 e 3. Quindi, si può dire che la linea frattale vada oltre lo spazio unidimensionale, invadendo nel bidimensionale, mentre la sua dimensione risulti frazionaria, intermedia tra la linea dimensionale originaria e lo spazio bidimensionale in cui avviene la morfogenesi del frattale. Allo stesso modo il piano frattale si estende parzialmente nello spazio tridimensionale; teoricamente pensiamo anche all’uscita di una superficie tridimensionale come risultato della sua frattalizzazione nello spazio di dimensione superiore. I frattali sono stati utilizzati a scopi pratici per la prima volta proprio per misurare le linee costiere arrivando a precisioni incredibili, grazie all’introduzione della dimensione frattale.

In generale un frattale può essere visto come un insieme di forme la cui dimensione differisce dalla più comune dimensione topologica, ed è espressa nel suo insieme proprio da questo specifico parametro. Purtroppo non esiste ancora una definizione rigorosa ed esaustiva di frattali e delle loro dimensioni. Secondo alcuni, la dimensione frattale andrebbe a rappresentare una sorta di invariante topologico propria di ciascuna struttura frattale, per altri è un tipo speciale di simmetria, per altri ancora rappresenta invece la simmetria di un frattale rispetto alla scala. Seguendo la definizione di misura offerta dallo stesso Mandelbrot, avviene qualcosa di particolarmente interessante: la dimensione di un frattale è sempre maggiore della dimensione topologica. Le conseguenze di ciò non sempre sono comprese dagli scienziati e invadono aspetti relativi al caos e alla complessità.

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