Metodologie di calcolo dei cuscinetti

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metodologie di calcolo dei cuscinetti

Nel campo dell’ingegneria meccanica, la corretta progettazione e calcolo dei cuscinetti è fondamentale per garantire l’affidabilità e l’efficienza delle macchine rotanti. I cuscinetti, essenziali per la riduzione dell’attrito tra le parti in movimento, devono essere progettati in modo da ottimizzare le loro prestazioni e durata.

Il presente articolo mira a esplorare le metodologie di calcolo dei cuscinetti secondo gli standard internazionali definiti dalla ISO, analizzando le normative ISO 76, ed ISO281. La normativa avanzata ISO16281 è volutamente trascurata, in quanto il complesso approccio matematico in essa contenuto richiede un ulteriore approfondimento.

Metodologie di calcolo dei cuscinetti: introduzione

Si definiscono cuscinetti tutti gli organi meccanici aventi la funzione sia di sopportare i carichi applicati ad un corpo in moto relativo di rotazione oppure di traslazione da parte degli elementi della catena cinematica cui il corpo appartiene, sia la proprietà di originare coppie resistenti di piccola intensità.

Un cuscinetto volvente sopporta un carico mediante elementi volventi (come sfere o rulli) contenuti tra due anelli del cuscinetto chiamati piste. Il movimento relativo delle piste fa sì che i corpi volventi si muovano con una resistenza al rotolamento molto ridotta e con uno scorrimento minimo.

Figura 2. Parametri geometrici di un cuscinetto a sfere

I principali parametri geometrici (figura 2) di un cuscinetto a sfere/rulli sono:

  • Il diametro del foro d definito come il diametro interno del cuscinetto a cui il cuscinetto è montato nell’albero;
  • Il diametro esterno D, definito come il diametro esterno del cuscinetto montato nell’alloggiamento;
  • Il diametro interno della pista di rotolamento interna Di , definito come il diametro in cui le sfere entrano in contatto con la pista di rotolamento interna;
  • il diametro esterno della pista esterna D0, definito come il diametro di contatto delle sfere con la pista esterna;
  • Il gioco diametrale del cuscinetto  definito come lo spazio totale in direzione diametrale tra le sfere e le piste di rotolamento, prima del montaggio del cuscinetto;
  • Il diametro primitivo Dpw,, definito come il diametro in cui si trovano i centri delle sfere;
  • Il diametro del corpo volvente Dw;
  • la larghezza del cuscinetto B.

Il diametro primitivo può essere calcolato approssimativamente dai diametri delle piste interne ed esterne, come:

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Il gioco diametrale risulta dai diametri delle piste interne ed esterne e dal diametro delle sfere e dei rulli:

Da cui si può valutare il diametro del corpo volvente come:

Tuttavia, i diametri delle piste interne ed esterne non sono generalmente indicati nei cataloghi dei fornitori; possono essere calcolati approssimativamente come:

D0 = 0.8 · D + 0.2  · d     per cuscinetti a sfere

D0 = 0.75 · D + 0.25  · d  per cuscinetti a rulli

Il diametro primitivo può essere calcolato approssimativamente come:

Dalla quale si deduce una approssimazione per Di:

A questo punto è possibile valutare il diametro del corpo volvente ipotizzando un gioco diametrale nullo, ossia e = 0.

La conoscenza del diametro dei corpi volventi e del loro numero è fondamentale per stimare la rigidezza del cuscinetto.

Altri due parametri geometrici importanti sono le osculazioni delle piste interne ed esterne (figura 3), definite rispettivamente come ri/Dw ed r0/Dw.

Figura 3. Parametri per determinare le osculazioni

L’osculazione del cuscinetto descrive il gioco spaziale tra le sfere e le piste di rotolamento. I valori tipici dell’osculazione interna sono 50,6-52%, mentre quella esterna varia dal 52,7% al 53%. Maggiore è l’osculazione del cuscinetto, maggiore è lo spazio tra le sfere e le piste di rotolamento o viceversa.

Un’osculazione ampia comporta una minore rumorosità, un ridotto attrito del cuscinetto e una minore usura indotta nel cuscinetto. Tuttavia, aumenta la pressione hertziana nell’area di contatto (poiché il raggio equivalente si riduce), riduce lo spessore del film d’olio e diminuisce i coefficienti di carico statico e dinamico (figura 4).

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Figura 4. Metodologie di calcolo dei cuscinetti: Standard e Notazione

Questi effetti causano una riduzione della durata del cuscinetto. D’altra parte, una piccola oscillazione aumenta i coefficienti di carico statico e dinamico e riduce la pressione hertziana nell’area di contatto. Entrambi portano a un aumento della durata del cuscinetto. Tuttavia, aumenta la rumorosità indotta nel cuscinetto e provoca un attrito molto maggiore e un’usura maggiore nell’area di contatto.

Calcolo Statico secondo ISO 76

La norma ISO 76 viene utilizzata quando si devono eseguire calcoli su cuscinetti destinati a ruotare a velocità molto basse (<10 rpm), destinati a compiere movimenti oscillatori oppure a restare fermi per lungo periodo sottoposti a forti carichi.

Il calcolo statico prevede la determinazione del coefficiente di sicurezza S0:

S0 = C0 / P0

Ove C0 è il coefficiente di carico statico [kN] e  P0  è il carico statico equivalente [kN].

Il coefficiente di carico staticoC0  è definito nella norma ISO 76 come il carico che determina un determinato valore di pressione di contatto al centro di contatto dell’elemento volvente più sollecitato. I valori di sollecitazione di contatto sono: 4600 Mpa per i cuscinetti orientabili a sfere, 4200 Mpa per i cuscinetti a sfere e 4000 Mpa per i cuscinetti a rulli.

Nel caso di un cuscinetto a sfere, il coefficiente di carico statico può essere determinato mediante la seguente formula:

C= f0 · i · Z · Dw2 · cos (α)  ove:

f0 è un fattore tabellato nella normativa ISO76

i è il numero di file del cuscinetto

Z è il numero di corpi volventi

Dw  è il diametro nominale dei corpi volventi (in mm)

α è l’angolo di contatto nominale (in gradi)

Il carico statico equivalente P(figura 5) è definito come il carico ipotetico (radiale per un cuscinetto radiale e assiale per un cuscinetto reggispinta) che, una volta applicato, provocherebbe nel cuscinetto lo stesso carico massimo sui corpi volventi dei carichi reali a cui il cuscinetto è sottoposto. Si ottiene dall’equazione generale:

P= X0Fr + Y0Fa

Dove:

Pcarico statico equivalente del cuscinetto [kN]

Fr  carico radiale effettivo del cuscinetto [kN]

Fa carico assiale effettivo del cuscinetto [kN]

X0 fattore di carico radiale del cuscinetto, tipicamente X0=0.6

Y0 fattore di carico assiale del cuscinetto, tipicamente Y0=0.5

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Figura 5. Carico statico equivalente e relativa scomposizione

Le linee guida per l’accettabilità del coefficiente di sicurezza statico P sono riportate nei manuali dei costruttori di cuscinetti; si riporta a titolo di esempio la tabella riportata sul manuale SKF per i cuscinetti a sfere (tabella 1) e per i cuscinetti a rulli (tabella 2).

Certainty of load levelContinuous motionInfrequent motion
 Permanent deformation acceptancePermanent deformation acceptance
 YesSomeNoYes
High certainty
For example, gravity loading
and no vibration
0,5120,4
Low certainty
For example, peak loading
≥ 1,5≥ 1,5≥ 2≥ 1
Tabella 1 – Valori indicativi per il fattore di sicurezza statica s0 – per carichi continui e/o occasionali – cuscinetti a sfere (Manuale SKF)
Certainty of load levelContinuous motionInfrequent motion
 Permanent deformation acceptancePermanent deformation acceptance
 YesSomeNoYes
High certainty
For example, gravity loading
and no vibration
11,530,8
Low certainty
For example, peak loading
≥ 2,5≥ 3≥ 4≥ 2
Tabella 2 – Valori indicativi per il fattore di sicurezza statica s0 – per carichi continui e/o occasionali – cuscinetti a rulli  (Manuale SKF)

Calcolo Dinamico secondo ISO 281

Durata base – L10

Si definisce durata base di un cuscinetto:

“Numero di giri oppure ore di funzionamento che il cuscinetto può raggiungere prima che si verifichi il primo segno di fatica (sfaldatura o erosione) su uno degli anelli oppure sui corpi volventi”

O equivalentemente:

“Durata raggiunta o superata dal 90% di un lotto significativo di cuscinetti all’apparenza identici prima che compaiano i primi segni di affaticamento del materiale”, (figura 6).

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Figura 6. Esempi di segni di fatica sulle piste di un cuscinetto a sfere (sfaldatura progressive) (Fonte: SKF)

Si assume ossia, che il cuscinetto abbia una probabilità di errore del 10% (o equivalentemente una affidabilità del 90%), da cui il nome L10.

La durata base di un cuscinetto L10,espressa in milioni di giri,è calcolata mediante la seguente formula:

In cui :

Cr = Coefficiente di carico dinamico (espresso in N)

Pr = Carico dinamico equivalente sul cuscinetto (espresso in N) 

p è l’esponente della formula della durata:

p = 3 per cuscinetti a sfere;

p = 10/3 per cuscinetti a rulli

Il carico dinamico equivalente (figura 7) è calcolato mediante la seguente equazione:

Pr = XFr + YFa

Ove Fr è la componente radiale del carico agente sul cuscinetto ed Fa è la componente assiale del carico.

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Figura 7. Carico dinamico equivalente e relativa scomposizione

X è il fattore di carico radiale dinamico e Y è il fattore di carico assiale dinamico. Questi due fattori dipendono dal carico assiale relativo:

f0 · Fa / Cor

e dal rapporto tra i carichi assiali e radiali.

Quando Fa/Fr≦e per i cuscinetti radiali ad una corona, si assume che X=1 e Y=0. Pertanto, il coefficiente di carico dinamico equivalente è Pr=Fr. I valori di e, che designano il limite di Fa/Fr, sono elencati nelle tabelle delle specifiche dei cuscinetti di ciascun fornitore.

Il coefficiente di carico dinamico Cr esprime il carico sul cuscinetto che darebbe una durata di base pari a 1E6 giri, secondo normativa ISO 281 ed è funzione dei parametri macro geometrici del cuscinetto. Per un cuscinetto a sfere (con diametro nominale delle sfere Dw≤25.4 mm), si ha ad esempio:

bm è un fattore di valutazione per l’acciaio per cuscinetti temprato di alta qualità, comunemente utilizzato in conformità alle buone pratiche di fabbricazione, il cui valore varia a seconda del tipo di cuscinetto e del progetto. Il valore è indicato in tabella 1 dello standard ISO 281:2007.

fc  è un fattore che dipende dalla geometria dei componenti del cuscinetto, dalla precisione con cui sono realizzati i vari componenti e dal materiale. Il valore è indicato in tabella 2 dello standard ISO 281:2007.

i è il numero di file di elementi volventi

α è l’angolo di contatto nominale (espresso in gradi)

Z è il numero di corpi volventi

Dw  è il diametro nominale delle sfere (espresso in millimetri)

Nel caso in cui Dw >25.4 mm la precedente equazione si modifica in:

La formula della durata di base puo’ essere riscritta esprimendo la durata del cuscinetto in ore:

Il calcolo della durata di base L10, si basa su diverse assunzioni:

  • Il cuscinetto è orientato in direzione nominale
  • I carichi sono combinati mediante dei fattori
  • Non si considera il gioco di funzionamento
  • Non sono considerati effetti di momenti applicati al cuscinetto ed eventuale tilting
  • Non sono considerati effetti di lubrificazione e contaminazione
  • Il cuscinetto è modellato come un corpo rigido

La normativa di calcolo ISO16281 permette di svolgere calcoli più complessi, determinando la rigidezza del cuscinetto e considerando effetti di momenti/tilting applicati al cuscinetto. Mediante tale normativa è inoltre possibile considerare l’effetto dei giochi di funzionamento, dei precarichi e calcolare la pressione di contatto sui corpi volventi in funzione della microgeometria delle piste.

Calcolo della durata modificata secondo ISO281

Per molte applicazioni è necessario calcolare la durata per un diverso livello di affidabilità e/o per un calcolo più accurato della durata in determinate condizioni di lubrificazione e contaminazione.

In condizioni operative favorevoli e al di sotto di determinate sollecitazioni hertziane di contatto dei corpi volventi, è possibile ottenere vite dei cuscinetti molto lunghe (rispetto alla vita L10) se non viene superato il limite di fatica dell’acciaio del cuscinetto. D’altra parte, in condizioni operative sfavorevoli, si possono ottenere vite dei cuscinetti inferiori alla vita L10.

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Figure 8  Coefficiente aISO per cuscinetti radiali a sfere

I due fattori che permettono di passare dalla vita nominale di base L10 alla vita nominale modificata Lnm  sono a1 (fattore di modifica per l’affidabilità) e aISO (fattore di modifica per le condizioni operative):

Lnm  = a1 ·  aISO · L10

Il fattore a1viene scelto dalla tabella 3, in base all’affidabilità richiesta.

Affidabilità %Lnm a1
90L10m1
95L5m0.64
96L4m0.55
97L3m0.47
98L2m0.37
99L1m0.25
99.2L0.8m0.22
99.4L0.6m0.19
99.6L0.4mL0.8m
99.8L0.2m0.12
99.9L0.1m0.093
99.92L0.08m0.087
99.94L0.06m0.08
99.95L0.05m0.077
Tabella 3 – Fattori per il calcolo della durata modificata

Il fattore aISO dipende da:

  • Condizioni di carico del cuscinetto;
  • Lubrificazione (tipo di lubrificante, viscosità, velocità del cuscinetto, dimensioni del cuscinetto);
  • Ambiente (livello di contaminazione);
  • Particelle di contaminazione (durezza e dimensione delle particelle in relazione alle dimensioni del cuscinetto, metodo di lubrificazione, filtrazione).

Pertanto, è una funzione del prodotto tra il rapporto Cu / P ed ec, e di k:

Dove:

  • Cu è il carico al quale il limite di sollecitazione a fatica è appena raggiunto nel contatto della pista più sollecitata;
  • P  è il carico dinamico equivalente;
  • ec è il fattore di contaminazione, i cui valori variano da 1 (estrema pulizia) a 0 (contaminazione molto grave), con valori tipici compresi tra 0,3 e 0,5;
  • k  è il rapporto di viscosità, ossia il rapporto tra la viscosità cinematica effettiva  e una viscosità cinematica di riferimento , che dipende dalla velocità del cuscinetto e dal diametro del passo secondo una relazione del tipo:

v1 = c  ·  n-a  ·  D-bpw

con a, b e c costanti positive.

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Figura 9. Coefficiente aISO per cuscinetti radiali a rulli

Alcune regole di progettazione dei cuscinetti a rotolamento

Alcune semplici regole di buona progettazione di un cuscinetto possono essere riassunte come segue:

  • Determinare i carichi radiali e di spinta (assiali) che agiscono sugli ingranaggi, il che dipende dalla coppia motrice e dalle geometrie degli elementi trasmittenti (cioè diametro del passo operativo, angolo d’elica di lavoro e angolo di pressione normale di lavoro);
  • calcolare i carichi radiali e assiali che agiscono sui cuscinetti, mediante equazioni di equilibrio;
  • verificare le velocità di riferimento e limite dei cuscinetti scelti, indicate nel catalogo dei fornitori di cuscinetti. In generale, maggiori sono le dimensioni del cuscinetto, minori sono le velocità di riferimento e limite consentite e viceversa;
  • Calcolare il fattore di sicurezza statica e la durata del cuscinetto;
  • Calcolare la pressione hertziana nell’area di contatto: se la pressione hertziana massima è troppo elevata, il cuscinetto potrebbe essere pre-danneggiato.

Precarico dei cuscinetti

In alcune applicazioni il cuscinetto deve essere precaricato (cioè richiede un gioco operativo negativo). In applicazioni come i differenziali automobilistici e i motori elettrici, il precarico aumenta la rigidità o il posizionamento preciso dell’albero.

Il precarico può essere ottenuto con una molla o con una regolazione (ad esempio con un dado). Le molle sono utilizzate anche per fornire un carico minimo su cuscinetti poco caricati (per evitare slittamenti). Il precarico è tipicamente espresso come forza, ma può anche essere espresso come distanza (percorso).

I valori empirici di precarico possono essere ottenuti da progetti collaudati e quindi applicati a progetti simili. Per i nuovi progetti non è sempre possibile identificare tutti i fattori che influenzano il funzionamento durante la fase di progettazione e potrebbero essere necessari degli aggiustamenti. L’accuratezza dei risultati calcolati dipende dalla corrispondenza tra la temperatura di esercizio stimata e il comportamento elastico dei componenti associati, soprattutto dell’alloggiamento, e le condizioni di esercizio reali.

I principali vantaggi derivanti dal precarico comprendono:

  • Miglioramento della rigidità

La rigidità del cuscinetto è definita come il rapporto tra la forza che agisce sul cuscinetto e la deformazione elastica del cuscinetto. La deformazione elastica causata da un carico nei cuscinetti precaricati è minore per un determinato intervallo di carico rispetto ai cuscinetti non precaricati;

  • Riduzione dei livelli di rumorosità

Quando il gioco operativo in un cuscinetto diminuisce, i corpi volventi nella zona non caricata si caricano, riducendo i livelli di rumorosità durante il funzionamento;

  • Miglioramento della guida dell’albero

I cuscinetti precaricati forniscono una guida più precisa dell’albero perché il precarico offre un grado di rigidità più elevato, che limita la capacità dell’albero di deflettere sotto carico. Ad esempio, il precarico dei cuscinetti di un differenziale aumenta la rigidità, limitando la variazione dell’ingranaggio. In questo modo si minimizzano le forze dinamiche e si riducono i livelli di rumorosità, prolungando la vita utile degli ingranaggi;

  • Compensazione dell’usura e dell’assestamento:

L’usura e l’assestamento tra le superfici di accoppiamento di un cuscinetto regolato durante il rodaggio provocano un gioco. Questo può essere compensato con il precarico.

  • Prolungamento della durata dei cuscinetti

Se il precarico è impostato correttamente in un cuscinetto regolato, l’affidabilità operativa può essere migliorata, grazie a una distribuzione più favorevole del carico nei cuscinetti (un numero maggiore di corpi volventi sotto carico riduce il carico massimo dei corpi volventi), che può prolungare la durata dei cuscinetti. Una regolazione del precarico troppo elevata comporta un sovraccarico del cuscinetto, un aumento dell’attrito e un’influenza negativa sulla durata del cuscinetto.

(di Davide Marano, Gearlab)

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