Una breve guida per il calcolo della rigidezza di ingranamento e la presentazione di un esempio applicativo in cui si confronta l’effetto della microgeometria sull’errore di trasmissione sotto carico.
L’emissione acustica di una trasmissione meccanica a ingranaggi è il risultato della propagazione strutturale (structure-born) e aerea (air-borne) delle vibrazioni meccaniche indotte dagli ingranaggi, dai cuscinetti e dal motore elettrico.
Con particolare riferimento agli ingranaggi, si distinguono due tipologie di rumore: il “rattle” e il “whine”, quest’ultimo causato dall’oscillazione dell’errore di trasmissione. Esso può essere definito, per una coppia di ruote dentate, come la differenza tra la posizione effettiva dell’ingranaggio condotto e la posizione che questo occuperebbe nel caso di moto cinematicamente ideale.
L’errore di trasmissione varia col carico ma anche in condizioni no-load è presente per via di errori geometrici, ossia di profilo, di passo, di eccentricità e di elica dovuti agli scostamenti di produzione.
L’errore di trasmissione sotto carico è influenzato principalmente dalla variazione di ricoprimento durante l’ingranamento e dalla conseguente variazione di deflessione del dente sotto carico, dunque dalla rigidezza di ingranamento.
In questo breve articolo si introducono i rudimenti teorici della formulazione numerica di Weber Banaschek, per il calcolo della rigidezza di ingranamento, unitamente a un esempio applicativo di calcolo realizzato in KISSsoft, in cui si confronta l’effetto della microgeometria sull’errore di trasmissione sotto carico.
Approccio analitico di Weber-Banaschek al calcolo della rigidezza di ingranamento
La teoria formulata da Weber e Banaschek nel 1953, fornisce una rappresentazione analitica dell’ingranamento sotto carico e un modello matematico della rigidezza di ingranamento. Secondo questa teoria, in riferimento a un ingranaggio costituito da una coppia di ruote cilindriche a denti dritti, il carico trasversale nominale agente sui denti durante l’ingranamento, genera su di essi una deformazione complessiva δ che risulta essere la somma di tre diverse componenti:
1. Flessione: δb (Figura 1a)
2. Inclinazione: δt (Figura 1b)
3. Schiacciamento hertziano: δH (Figura 1c).
La componente di deformazione δb rappresenta la flessione del dente, calcolata considerando il dente come incastrato su un corpo infinitamente rigido. La componente di inclinazione δt (rappresenta la deformazione della base del dente (corpo ruota) ottenuta considerando il dente infinitamente rigido. Analiticamente tali termini rappre- sentano l’energia di deformazione del momento flettente M, della forza normale N e della forza di taglio T originati dalla scomposizione della forza Fbti nei rispettivi sistemi di riferimento. Per ricavare l’espressione di tale energia si applica il teorema di Castigliano alle due diverse configurazioni, ottenendo le seguenti espressioni:
La terza componente della deformazione δH descrive lo schiacciamento dei due denti secondo la teoria di Hertz. In particolare, secondo questo modello, la distanza t1,2 a cui corrisponde l’annullamento della deformazione coincide con la distanza che intercorre tra il punto di contatto fra i due denti e il punto di intersezione della linea di azione con l’asse di simmetria del dente.
La cedevolezza complessiva di ingranamento, sarà quindi data dalla somma delle cedevolezze relative alle singole deformazioni:
Ove il pedice 1,2 indica la deformazione rispettivamente di pignone e corona.
L’estensione di tale teoria agli ingranaggi cilindrici a denti elicoidali (Figura 2) prevede la suddivisione della larghezza di fascia delle ruote in un dato numero di dischi sottili, il cui comportamento è approssimato a quello di un ingranaggio cilindrico a denti dritti, collegati tra loro mediante rigidezza torsionale C definita come:
Dove:
Asec è il numero di dischi sottili
F, fattore che tiene conto della relazione tra le due dischi consecutivi, solitamente pari a 0.04
Ci e Ci+1 sono le rigidezze totali dei dischi i-esimo e i+1-esimo.
È possibile peraltro osservare che la deformazione locale teorica di un i-esimo disco risulta superiore rispetto alla deformazione reale, poiché nella realtà esiste un’azione di supporto da parte dei dischi vicini, cosa che invece non avviene per le sezioni marginali del dente.
Per approfondimenti sull’argomento si rimanda ai testi citati in bibliografia [1].
