La rottura a fatica al piede del dente è una modalità di cedimento critica degli ingranaggi, nella quale il piede del dente si rompe a causa della ripetizione del carico flessionale. La procedura più ampiamente adottata per valutare la resistenza del piede è mediante prova al pulsatore. Tuttavia, questo metodo di prova non riproduce gli ingranaggi in condizioni di ingranamento. Concentrandosi sulla regione a vita limitata della curva SN, si osservano alcune differenze tra le prove al pulsatore e le prove con rotolamento (ovvero, con ingranaggi in esercizio). Nello specifico, le prove con rotolamento presentano una vita paragonabile, se non addirittura superiore, a quella riscontrata nella prova al pulsatore. Questo studio indaga il ruolo della propagazione della cricca al piede del dente e come essa potrebbe spiegare tale differenza.
Introduzione
Quasi tutti i componenti meccanici sono soggetti a fatica, inclusi gli ingranaggi. Tra i loro principali meccanismi di cedimento, la rottura a fatica al piede del dente è particolarmente critica, viste le conseguenze catastrofiche di tale cedimento. Norme quali ISO 6336:3 e ANSI/AGMA 2001 definiscono lo sforzo applicato al piede del dente, da confrontare con un valore ammissibile; ISO 6336:5 e ANSI/AGMA 2001 forniscono inoltre valori tipici di resistenza. Tuttavia, per la loro natura generale e conservativa, tali norme non possono coprire tutte le specifiche realtà industriali e raccomandano la determinazione sperimentale della resistenza.
Il metodo sperimentale più diffuso è la prova al pulsatore, eseguita applicando con macchine monoassiali un carico sul fianco del dente, risultante in una flessione al piede dente. L’assenza di ingranamento introduce numerose differenze, rendendo necessaria una correzione dei risultati prima del loro impiego in fase progettuale. Diversi lavori affrontano questa problematica, e questi sono coerenti sul limite di fatica. Vi è però mancanza di correlazione co[]nsolidata tra la vita stimata nelle prove al pulsatore e quella con prove con rotolamento [1].
Una possibile spiegazione risiede nell’effetto della cricca al piede del dente sulla rigidezza di ingranamento: la riduzione di rigidezza della coppia criccata comporta una diminuzione del carico massimo sul dente lesionato, rallentando la propagazione della cricca.
Questo articolo analizza l’influenza reciproca tra propagazione della cricca al piede del dente e condizioni di esercizio. Dopo una sintetica rassegna riguardo la elaborazione dei dati da prove al pulsatore e delle discrepanze emerse nella stima della vita, viene discusso lo stato dell’arte sul riguardo la modellazione della propagazione di cricche al piede dente. È quindi presentato un modello numerico per valutare l’effetto della cricca sia nelle prove al pulsatore sia nelle prove con rotolamento, stimando il numero di cicli a rottura tramite analisi della propagazione. Infine, si confronta l’evoluzione della cricca nei due casi di prova.
Nel seguito, “meshing gears” (MG) indica genericamente ingranaggi in presa sotto carico, mentre “rotating gears” (RG) identifica la prova con rotolamento, ovvero una prova specifica su banco con coppie di ingranaggi in rotazione. Il termine “pulsatore” indica invece qualsiasi prova di fatica al piede del dente eseguita senza l’impiego di un ingranaggio accoppiato.
Elaborazione delle prove pulsatore
Rettig fu tra i primi a evidenziare le differenze tra prove al pulsatore e prove con rotolamento. Nel 1954 osservò che il pulsatore fornisce un limite di fatica più elevato, ma una vita inferiore nella regione a vita limitata [2]. Attribuì quest’ultimo aspetto alla variazione del ricoprimento di profilo sotto carico, modificando il carico sul dente, mentre nel pulsatore il carico resta costante. Risultati analoghi furono riportati da Seabrook e Dudley, che nel 1964 osservarono limiti di fatica al pulsatore circa 1,3 volte superiori [3]. Anche Frint nel 1973 rilevò valori delle prove con rotolamento inferiori del 20% rispetto a prove pulsatore effettuate su provini comparabili [4]. Tuttavia, tali studi non sono un confronto sistematico tra le due prove e dedicano scarsa attenzione alla regione a vita limitata.
Il primo studio specificamente dedicato al confronto tra pulsatore e ruote ingrananti è il report FVA n. 169 [5]. Le curve SN comparative mostrano limiti di fatica al pulsatore pari a 1,1–1,4 volte quelli con rotolamento, in accordo con la letteratura, mentre nella regione a vita limitata la vita delle prove con rotolamento risulta comparabile se non addirittura superiore a quella del pulsatore, confermando quanto discusso da Rettig nel 1954. Su queste basi fu sviluppato il report FVA n. 304 [6], primo e unico metodo di calcolo consolidato per trasferire i risultati del pulsatore alla progettazione di ruote ingrananti. Quasi contemporaneamente al FVA 304, Rao e McPherson [7] proposero una metodologia alternativa, basata su considerazioni statistiche e approcci locali per derivare la curva SN delle RG. Più recentemente, Hong et al. [8] hanno proposto un metodo fondato su un coefficiente correttivo determinato sperimentalmente. Con riferimento al limite di fatica, tali metodi mostrano simili considerazioni e scalatura, resta però ancora debole la correlazione con il comportamento delle RG nella regione a vita limitata [1].
Curve comparative disponibili in letteratura
Tutti questi metodi di elaborazione derivano da campagne comparative di prove al pulsatore e prove con rotolamento. Tuttavia, le indagini sistematiche disponibili sono poche. Le prime campagne note sono quelle di Rettig [2], Wirth [9] e del FVA Report n. 169 [5, che costituisce la prima raccolta organica finalizzata a un confronto diretto tra i due metodi. Anche Rao e McPherson [7] e Hong et al. [8] riportano curve SN , ma con una base sperimentale limitata e senza dettagli geometrici; Fuchs et al. [10] analizzano acciai ad altissima purezza nella regione VHCF, non nelle classiche regioni a vita limitata e ad alta vita.
Il FVA n. 169 [5] è, di fatto, la fonte più completa. In tutti i casi ivi riportati, il limite di fatica delle ruote ingrananti risulta inferiore a quello del pulsatore, mentre la vita utile è comparabile o, in alcuni casi, superiore. Tra i dati disponibili nel FVA n. 169 [5], in questo lavoro si considerano quelli di Wirth [9].
Il lavoro di Wirth [9] fornisce un insieme molto dettagliato di dati: geometria completa del provino nonché curve SN separate espresse in termini di carico applicato. Questo consente di rielaborare le curve in termini di sforzo mediante modelli alternativi a quelli originariamente adottati.
Nel seguito si analizzano i casi “A” e “D”, differenti per geometria, materiale e trattamento termico. Le curve di figura 1 partendo appunto da tali curve, ricalcolando la relazione forza/sforzo tramite modello agli elementi finiti, così da includere la deformabilità del componente e una ripartizione del carico più realistica.
I risultati confermano che, nella regione ad alta vita, il pulsatore fornisce limiti di fatica più elevati. Tuttavia, per entrambi gli ingranaggi, le prove con rotolamento mostrano vite comparabili a quelle del pulsatore. Questo indica la presenza di effetti che compensano la riduzione di vita attesa per ragioni statistiche. Uno di tali effetti, come discusso nel seguito, è la propagazione della cricca. Le curve mostrano inoltre due ginocchi in posizioni sensibilmente diverse nei due metodi di prova, in accordo con il trend generale riportato in letteratura.
Propagazione della cricca nel piede dente
Prima di introdurre il modello numerico proposto, è necessario inquadrare come la letteratura tratta la propagazione della cricca al piede del dente. Come evidenziato in [11], gli studi possono essere ricondotti a due macrocategorie: quelli dedicati alla propagazione della cricca per se e quelli che ne valutano l’effetto sulle caratteristiche di ingranamento, in particolare sulla rigidezza di ingranamento.
I lavori del primo gruppo sono più focalizzati sull’aspetto descrittivo della propagazione della cricca. Viene qui applicata la meccanica della frattura lineare elastica all’interno di modelli di calcolo agli elementi finiti con particolare attenzione alla cartella leggera e alla traiettoria tridimensionale della propagazione. Tuttavia, la maggior parte di tali modelli assume un carico massimo costante applicato in posizione fissa e non rappresenta il reale ingranamento, nel quale il punto di contatto e la ripartizione del carico variano durante il ciclo. Solo pochi lavori includono la ripartizione del carico tra i denti, ma senza aggiornarla durante la propagazione della cricca.
Il secondo gruppo di studi analizza l’effetto della cricca sulla rigidezza, principalmente per finalità di monitoraggio. In questo caso, la cricca è trattata come un mero difetto che altera le condizioni di ingranamento con implicazioni sul comportamento NVH dell’intero sistema. Non viene però modellata esplicitamente la crescita.
Tra i pochi contributi che accoppiano propagazione della cricca e variazione della rigidezza vi è il lavoro di Wang et al. [12].Secondo tale lavoro, a crescita della cricca modifica la ripartizione del carico tra i denti, ma l’effetto è considerato solo nel contatto doppio e non in quello singolo. L’accoppiamento tra propagazione e carico porta a una vita di propagazione stimata superiore rispetto al caso in cui la ripartizione del carico sia assunta costante.
Modello numerico degli ingranaggi
Per valutare l’effetto della cricca al piede del dente è stata definita una procedura numerica in due fasi: simulazione dell’ingranamento in presenza di cricca e stima della sua propagazione. Nelle simulazioni dell’ingranamento, il carico è applicato mediante un punto di riferimento solidale al mozzo: quello del pignone è completamente vincolato, mentre quello della ruota è libero di ruotare intorno al proprio asse ed è soggetto alla coppia applicata. Il contatto tra i fianchi è modellato come superficie-superficie. Uno schema della simulazione è riportato in figura 2.
Come mostrato in figura 3, i risultati della simulazione sono: forza normale tra i fianchi, lo sforzo al piede dente alla tangente di piede secondo ISO 6336-3 e fattore di intensità degli sforzi in modo I, KI KI. Per la stima di KI è stata adottata una mesh con elementi quarter-point. Per contenere il costo computazionale, tutte le analisi sono bidimensionali sotto l’ipotesi di sforzo piano.
Le simulazioni sono state eseguite per diversi livelli di carico, distribuiti sull’intera curva SN di figura 1, e per diverse lunghezze di cricca. Lo sforzo massimo principale σI è stato scelto per rappresentare lo stato tensionale al piede del dente. Nelle prove al pulsatore, il modello include i due punzoni, considerati come superfici analiticamente rigide, a contatto con un dente integro e uno criccato. Il carico è applicato su un punzone, mentre l’altro fornisce la reazione. Assumendo un comportamento lineare, si applica un carico unitario e i risultati vengono poi scalati in funzione della forza normale ottenuta nelle simulazioni RG. La procedura di apertura della cricca, la valutazione di KI e la discretizzazione adottata sono le stesse del caso delle ruote ingrananti. Tutte le simulazioni sono analisi statiche; pertanto, gli effetti dinamici non sono considerati.
Propagazione della cricca al piede dente
L’avanzamento della cricca è modellato imponendo un percorso di propagazione prefissato e definendo l’apice della cricca in posizioni discrete lungo tale traiettoria. Per ciascuna configurazione vengono eseguite le analisi descritte precedentemente. In questo modo, il carico effettivo sul dente danneggiato non è imposto a priori, ma è calcolato dal solutore numerico in funzione della rigidezza effettiva del dente criccato; la cui rigidezza risulta quindi accoppiata alla presenza della cricca. Tale semplificazione è giustificata dal fatto che, la forma reale della cricca ha effetto limitato sulla variazione di rigidezza e, per cricche simili, produce fattori di intensità degli sforzi comparabili [13].
Il percorso di cricca è assunto come un arco di cerchio, perpendicolare al piede nel tipico punto di innesco secondo ISO 6336-3. La scelta deriva dalla semplicità geometrica e dalla coerenza con le fratture sperimentali osservate da Wirth.
Calcolato KI per le diverse lunghezze di cricca e per i diversi livelli di carico, il numero di cicli a rottura è stimato assumendo propagazione in modo I e adottando la legge di Paris:
da / dN = C (ΔK)m
dove a è la lunghezza di cricca, N il numero di cicli, C e m i coefficienti del materiale e ΔK la variazione del fattore di intensità, funzione del carico T e di a. I coefficienti C ed m sono assunti dalla letteratura; maggiori dettagli sono disponibili in [11]. Integrando la legge di Paris, il numero di cicli a rottura è definita come il minimo tra: i cicli necessari a raggiungere il valore critico (ovvero, KIC) e i cicli necessari affinché la cricca attraversi interamente il piede del dente.
Per confrontare le due geometrie, i risultati sono espressi mediante lunghezza di cricca adimensionale a*, ottenuta normalizzando a rispetto alla lunghezza totale del percorso di propagazione: 6,11 mm per il caso A e 4,75 mm per il caso D.
I valori di KIC sono stati stimati a partire dalle fratture sperimentali di figura 4. Poiché Wirth non riporta il carico dei denti fratturati, per ciascun caso sono stati ricavati due valori di tenacità limite, assumendo rispettivamente il carico minimo e massimo delle prove al pulsatore.
Risultati
Prima di discutere i risultati, va evidenziata la diversa evoluzione del ricoprimento sotto carico, (figura 5). Tale parametro esprime il numero medio di coppie di denti simultaneamente in presa: per valori inferiori a 2 una coppia lavora, per una parte del ciclo, da sola; per valori superiori a 2 il contatto coinvolge sempre almeno due coppie. Nel primo caso il carico normale sul fianco coincide con la forza teorica Fn,th, ricavabile dalla teoria dell’evolvente; nel secondo, Fn è ripartita tra più coppie e il carico reale sul singolo dente deve essere stimato mediante una analisi del contatto sotto carico. A parità di condizioni nominali, le due geometrie presentano valori simili; sotto carico, invece, “A” tende a rapporti di ricoprimento più bassi per effetto della maggiore rigidezza dei denti, mentre “D” mantiene per gran parte dei livelli di carico valori superiori a 2. Ne consegue che, nel caso “A”, il carico massimo sul dente può raggiungere Fn,th, mentre in “D” il dente integro è generalmente soggetto solo a una sua frazione. Va inoltre ricordato che i livelli di coppia considerati corrispondono a condizioni di prova a rottura e non a condizioni di esercizio reale; accentuando l’incremento del rapporto di ricoprimento sotto carico.
Il primo risultato riguarda la variazione della forza normale Fn durante il ciclo di ingranamento (figura 6 e figura 7). In entrambi i casi, all’aumentare della lunghezza di cricca il dente lesionato si scarica progressivamente, a scapito dei denti adiacenti.
L’incremento maggiore interessa il dente successivo, che ingrana nella fase di recesso del dente criccato e interagisce con il suo addendum, intrinsecamente più cedevole; il dente precedente subisce un aumento più contenuto, poiché il contatto coinvolge regioni più rigide.
Figura 7. Andamenti generali della forza normale durante la propagazione della cricca per tutti i livelli di carico considerati: (a sinistra) rappresenta la geometria “A”, (a destra) rappresenta la geometria “D”
L’entità della riduzione dipende anche dal rapporto di ricoprimento: in “A” la riduzione del carico compare solo oltre determinate lunghezze di cricca e livelli di coppia, mentre in “D” è presente quasi da subito, salvo al carico più basso, unico caso con rapporto di ricoprimento chiaramente inferiore a 2. L’aumento di Fn sui denti sani si riflette sulla sforzo al piede (figura 8) ma non supera in modo significativo il valore iniziale se non per cricche lunghe.
Nelle prove al pulsatore, al contrario, né il carico né il punto di applicazione variano: il carico è determinato dal controllo della macchina di prove mentre il punto di applicazione è fisso e determinato in base all’attrezzatura. In altre parole, a differenza delle prove con rotolamento, il carico applicato sul dente resta constante.
Questa differenza si riflette direttamente sulla severità della punta di cricca (figura 10). Per cricche corte, per cui lo scarico del dente è ancora limitato, i valori di K sono simili nei due casi. Per cricche più lunghe, invece, il pulsatore fornisce valori di K nettamente superiori rispetto alle RG. Inoltre, nel pulsatore K cresce monotonamente con la lunghezza della cricca, mentre nelle RG presenta un massimo e poi diminuisce, poiché il dente quasi fratturato diventa molto cedevole e si scarica quasi completamente. Ne deriva anche una differenza nel meccanismo di cedimento: nel pulsatore la rottura è associata al raggiungimento di KIC, mentre nelle RG può essere governata dall’attraversamento completo del piede del dente prima e non dal raggiungimento della tenacità a frattura.
L’analisi della propagazione è stata condotta in forma comparativa, poiché i coefficienti della legge di Paris e i valori di KIC non sono specifici dei materiali effettivamente testati. I box plot di figura 10 mostrano che, in tutti i casi analizzati, la propagazione nelle RG richiede più cicli rispetto al pulsatore: l’incremento varia dal 40% al 140%.
I dati disponibili indicano che, nel pulsatore, la propagazione rappresenta una quota non trascurabile della vita del piede, pari a circa il 10-30% [11]. Assumendo invariata la fase di nucleazione a parità di tensione al piede, tale rallentamento della propagazione comporta, per le RG, un aumento della vita complessiva al piede compreso tra circa il 4% e il 39%, con valore medio prossimo al 20%, (figura 11).
Conclusione
Nel quadro della fatica flessionale al piede del dente, questo lavoro analizza l’effetto della propagazione della cricca sul carico agente e sulla vita del dente. Le evidenze sperimentali mostrano che la vita in prove con rotolamento può essere comparabile, o anche superiore, a quella ottenuta al pulsatore. Una possibile spiegazione è l’effetto della cricca al piede, che durante l’ingranamento modifica la ripartizione del carico tra i denti.
Dalla revisione della letteratura sono stati selezionati due casi completi, nei quali lo stesso provino è stato testato sia al pulsatore sia con rotolamento. I dati mostrano vite sostanzialmente equivalenti nei due casi, suggerendo la presenza di effetti macroscopici che compensano fattori, come quelli statistici, che tenderebbero invece a penalizzare le prove con rotolamento. I casi sperimentali sono stati quindi riprodotti mediante modelli FE.
Le simulazioni confermano che, nelle prove con rotolamento, la propagazione della cricca scarica progressivamente il dente danneggiato. Nelle prove al pulsatore, invece, il carico resta costante e applicato sempre allo stesso diametro. Ne consegue che, a parità di sforzo al piede del dente integro, il pulsatore genera fattori di intensità degli sforzi più elevati rispetto. Assumendo tipica ripartizione tra nucleazione e propagazione osservata al pulsatore, la vita complessiva nelle prove ingrananti risulta aumentata di oltre il 20%.
Infine, i risultati RG dipendono anche dalla geometria dell’ingranaggio accoppiato, poiché la rigidezza di ingranamento sono proprietà del sistema e non del solo pignone. In questo senso, le prove al pulsatore forniscono una valutazione più generale della resistenza a flessione al piede del dente, essendo indipendenti dalla geometria della ruota accoppiata.
