Instabilità

Il termine instabilità ed il suo opposto stabilità sono utilizzati con più significati ed accezioni nell’ambito dell’ingegneria: si considera qui il contesto della costruzione di macchine e delle strutture, nel quale si riferisce alla instabilità dell’equilibrio elastico, cioè ai fenomeni corrispondenti al vocabolo buckling utilizzato nella lingua inglese.  

La verifica statica dei componenti meccanici e delle strutture si basa sul confronto tra lo sforzo applicato e la resistenza del materiale: nel caso di un componente meccanico o strutturale in acciaio, il quale presenta un comportamento simmetrico, la predetta verifica, eseguita sulla base della teoria classica dell’elasticità, conduce pertanto, a parità di condizioni, allo stesso esito, indipendentemente dal fatto che gli sforzi siano di trazione o di compressione. Tuttavia, come noto anche ai non addetti ai lavori, quando si considerano elementi snelli, come le aste di sezione piccola rispetto alla sua lunghezza o le piastre sottili, il comportamento in compressione è ben diverso da quello a trazione, perché nel primo caso si può verificare un collasso improvviso, anche per valori degli sforzi ben inferiori al limite di resistenza del materiale.

Nel caso delle aste compresse, questa condizione è identificata dalla locuzione “carico di punta” e la teoria di base mediante la quale la si approccia è quella dell’asta di Eulero, rettilinea e vincolata agli estremi mediante cerniera e carrello (figura 1).

Dal punto di vista matematico, la ricerca del carico critico può essere condotta determinando il valore della forza di compressione in corrispondenza della quale accanto alla condizione di equilibrio con asse rettilineo ne esistano altre, infinitamente prossime, con l’asta inflessa. Ipotizzando di deformare la trave mediante uno spostamento trasversale, l’equilibrio è possibile se in una generica sezione, il momento applicato dall’esterno, generato dall’eccentricità delle forze rispetto all’asse dell’asta, è uguale alla reazione elastica interna, cioè al prodotto della curvatura per il modulo elastico e per il momento d’inerzia.

La soluzione del problema

La risoluzione matematica del problema, che passa attraverso la soluzione di equazioni trigonometriche, conduce ai seguenti valori in corrispondenza dei quali la suddetta condizione è verificata:

Ed il valore più piccolo, che si ha per n = 1, costituisce il carico critico, cioè il valore da non superare per non incorrere nell’instabilità:

Come si vede, il carico critico cresce linearmente con il modulo elastico del materiale e con il momento d’inerzia della sezione e diminuisce con il quadrato della lunghezza.

La deformata trasversale lungo l’asta corrisponde alla semionda di una sinusoide. Il risultato ottenuto vale per l’asta vincolata come specificato, cioè con cerniera e carrello.

Condizioni di vincolo diverse danno luogo a sinusoidi di diversa lunghezza e conseguentemente a valori di carico critico differenti. Si introduce la lunghezza di libera inflessione l₀, la cui relazione con la lunghezza (altezza) della trave per i diversi tipi di vincolo è indicata in figura 2, e si riscrive l’espressione del carico critico come:

che consente così di calcolare il valore per i diversi vincoli, introducendo l’espressione appropriata di l0. La figura 2 riassume anche i valori del carico critico, che spaziano da un quarto del valore di base, per l’asta incastrata, fino a quattro volte, per l’asta con incastro e manicotto.

Nell’equazione è stato indicato che il calcolo deve essere effettuato introducendo il valore del momento d’inerzia minimo, perché nella realtà il problema è spaziale e quindi ci si deve riferire al piano corrispondente all’asse minore dell’ellisse centrale d’inerzia della sezione. Si è supposto che i vicoli siano spaziali, cioè che non creino piani privilegiati di inflessione: diversamente se ne dovrebbe tenere conto. Dividendo il carico critico per l’area della sezione, si ottiene lo sforzo di compressione critico; tenuto conto che il rapporto tra il momento d’inerzia (minimo) e l’area costituisce il quadrato del raggio d’inerzia (ρ_min) e introducendo il concetto di snellezza della trave (l), pari al rapporto tra la sua lunghezza e tale raggio, lo sforzo critico risulta dato da:

la quale evidenzia la riduzione quadratica del carico di punta al crescere della snellezza. Nel valutare la condizione critica, è opportuno sottolineare che il valore di modulo elastico dei materiali dipende dalla temperatura e pertanto, per temperature molto elevate, il carico critico si può ridurre significativamente. Significativo il caso di costruzioni civili metalliche, per le quali un evento di incendio può determinare un aumento di temperatura, con conseguente riduzione del modulo elastico, e può sfociare in un collasso per instabilità.

Esiste un valore limite della snellezza al di sotto del quale il valore del carico critico supera il carico di scostamento dalla proporzionalità: in queste condizioni il carico critico elastico smette di costituire il fenomeno più limitante e la verifica deve tenere conto degli effetti dello snervamento.

Nell’ambito della meccanica, un esempio tipico di componente esposto a potenziale cedimento per carico di punta è rappresentato dalla biella dei motori a combustione interna, che, se si prescinde dalle forze d’inerzia, corrisponde appunto allo schema di un’asta sottoposta a compressione.

Il fenomeno del buckling interessa anche configurazioni geometriche diverse da quelle delle aste, come ad esempio le lastre e le piastre. Si citano gli esempi delle lastre cilindriche sottoposte a pressione esterna o le pannellature sottili sottoposte a carichi nel proprio piano: anche in questo caso la presenza di sforzi di compressione può dar luogo a fenomeni di instabilità. Risulta determinante il segno dello sforzo locale più che dell’azione esterna: al di là del caso evidente di forza esterna di compressione che comporta sforzi di compressione è significativo il caso di un pannello sottoposto ad azioni di taglio, che localmente generano sforzi tangenziali i quali però, in termini di sforzi principali, corrispondono su piani orientati a 45° a sforzi di trazione e di compressione: questi ultimi sono in grado di produrre l’instabilità, come si vede nella figura 3 che mostra un tipico esempio, caratterizzato da ondulazioni orientate secondo tale angolo.