Assi e Alberi | Verifica a fatica e verifiche dinamiche

Verifica a fatica

La verifica a fatica riveste un ruolo determinante nella progettazione degli alberi di trasmissione perché in molti casi costituisce il fattore più limitante. La corretta esecuzione di questa verifica si deve basare sulla previsione delle condizioni di sollecitazione alle quali l’albero sarà sottoposto durante il suo intero ciclo di vita: in molte applicazioni ciò è rappresentato da uno spettro di carico anche molto complesso e la prima fase delle verifiche consiste nella sua riduzione ad una storia di carico costituita da una sequenza di cicli di carico semplici, sulla base della quale si può procedere allo studio del danneggiamento cumulato. Questa parte non è qui descritta e viene considerata solamente l’esecuzione della verifica nel caso in cui la storia di carico sia costituita da una sola condizione ripetuta per un numero di cicli prestabilito (verifica a termine) o all’infinito (verifica al limite di fatica).

Generalmente gli alberi sono sollecitati da una combinazione di momento torcente e di momento flettente, ciascuno dei quali può variare, nel caso semplice qui considerato, secondo un ciclo sinusoidale caratterizzato da un valore medio e da una ampiezza:

σ_m = sforzo normale di flessione medio

σ_a = ampiezza dello sforzo normale di flessione

τ_m = sforzo tangenziale di torsione medio

τ_a = ampiezza dello sforzo tangenziale di torsione

In queste condizioni, si avrà una condizione di sforzo multiassiale piana, costituita da uno sforzo normale di flessione combinato con uno sforzo tangenziale dovuto alla torsione. Ciò può essere trattato utilizzando i criteri di fatica multiassiale: l’approccio di base si fonda sull’utilizzo del criterio di Gough-Pollard, che è stato sviluppato proprio a partire da ricerche sperimentali su provini sottoposti ad una combinazione di flessione e torsione in rapporto variabile tra di loro,  che quindi è di immediata applicazione al caso degli alberi.

Sulla base dello studio strutturale già introdotto nella prima parte, si conoscono gli andamenti dei momenti torcenti e flettenti, alla luce dei quali, tenuto conto dei diametri dell’albero nelle varie sezioni e della presenza di effetti locali (intaglio), è possibile eseguire la ricerca della sezione più sollecitata (o, a priori, delle sezioni potenzialmente più sollecitate) nella quale eseguire la verifica.

Il caso più elementare è rappresentato dalla combinazione di un ciclo di flessione sinusoidale con sforzo medio nullo (alternato simmetrico dovuto ad esempio a “flessione rotante”), combinato con un ciclo di torsione a sua volta alternato simmetrico; ipotizziamo inoltre che la verifica venga eseguita per una durata illimitata.

In questo caso, il criterio di Gough-Pollard dà luogo ad uno sforzo equivalente calcolabile con la seguente espressione:

Nella quale con H si indica il rapporto tra i limiti di fatica rispettivamente a flessione e torsione alternata simmetrica per il componente, cioè derivati da quelli del materiale introducendo gli effetti dell’intaglio, della dimensione e della finitura superficiale che, come noto, determinano una riduzione della resistenza a fatica rispetto a quella di un provino standard. Si osserva l’analogia formale dell’espressione dello sforzo equivalente con quelle dei criteri statici di Von Mises o di Guest-Tresca, ma in questo caso il “peso” dello sforzo tangenziale non è dato un coefficiente prestabilito dal criterio, bensì da un termine derivante dall’effettivo rapporto tra i due limiti.

Detti:

il limite di resistenza a fatica a flessione alternata simmetrica

il limite di resistenza a fatica a torsione alternata simmetrica

Il coefficiente di sicurezza a fatica può infine essere calcolato con la seguente espressione:

I simboli utilizzati nelle formule hanno il seguente significato:

σ’_FA,f = limite di fatica a flessione alternata simmetrica del componente

σ_FA,f = limite di fatica a flessione alternata simmetrica del provino standard

τ’_FA,t = limite di fatica a torsione alternata simmetrica del componente

τ_FA,t = limite di fatica a torsione alternata simmetrica del provino standard

K_f,f = coefficiente d’intaglio a fatica a flessione

K_f,t = coefficiente d’intaglio a fatica a torsione

b₂ = coefficiente dimensionale.

b₃ = coefficiente di finitura superficiale

Si specifica che si è ipotizzato un valore identico per i coefficienti dimensionale e superficiale per i due tipi di sforzo (flessione e torsione) e che non vengono qui trattate la determinazione dei limiti a fatica del materiale qualora non noti da prove sperimentali e della stima dei coefficienti d’intaglio a fatica a partire dai corrispondenti coefficienti d’intaglio teorici, basata sulla sensibilità a fatica. Questi concetti saranno oggetto di una specifica “puntata” dedicata alle basi della verifica a fatica.

La verifica secondo Gough-Pollard può essere estesa al caso un po’ più generale, nel quale i cicli di sforzo siano variabili non in modo alternato simmetrico, ma in presenza di un valore medio diverso da zero. In queste circostanze, si procede calcolando i limiti di fatica a flessione e torsione tenendo conto della presenza dello sforzo medio, cioè utilizzando, ad esempio, il diagramma di Haigh. In questo modo si determinano:

σ_lim = limite di resistenza a fatica a flessione per ciclo generico

τ_lim = limite di resistenza a fatica a torsione per ciclo generico

Si ha quindi: H = σ_lim / τ_lim

Introducendo il valore di H così calcolato nell’espressione dello sforzo equivalente di Gough-Pollard si po’ infine scrivere per il coefficiente di sicurezza:

In alcune applicazioni tipiche, come ad esempio nel caso di un albero di un riduttore che lavora in condizioni di regime, la sollecitazione di torsione può essere costante: in questo caso è necessario un ulteriore adattamento nella scrittura dello sforzo equivalente, visto che l’ampiezza dello sforzo di torsione è nulla. Si è soliti estendere il criterio, utilizzando la seguente espressione:

Nella quale all’ampiezza dello sforzo di torsione si è sostituito il valor medio (costante) e nell’espressione del coefficiente H di sostituisce al limite di fatica a torsione il limite statico a torsione:

Si specifica che si è fatto riferimento ad un generico “limite statico”, perché nel caso degli alberi, che sono usualmente realizzati con materiali duttili, si è soliti introdurre come limite statico lo sforzo di snervamento a torsione, ma alcuni autori suggeriscono invece di introdurre lo sforzo di rottura a torsione, ritenendo che questa scelta sia più coerente con la natura del cedimento a fatica, che si manifesta appunto con una rottura. Dal punto di vista pratico, introducendo il limite di snervamento si è in condizioni più conservative anche se,  nei casi tipici di alberi con presenza di intaglio, nel caso di torsione costante, con entrambe le scelte, il calcolo eseguito con numeri realistici conduce a valori del quadrato del coefficiente H assai bassi: ciò è peraltro coerente con quanto si otterrebbe eseguendo la verifica con il criterio di Sines, secondo il quale addirittura il peso di una componente media dello sforzo di torsione sarebbe da considerare nullo. E’ doveroso specificare che i risultati del calcolo eseguito ipotizzando li sforzo tangenziale costante, che conduce ad un contributo piccolo (se non addirittura nullo come indicato) di tale sforzo, vanno considerati con estrema prudenza, assicurandosi che il momento torcente sia effettivamente costante e non soggetto ad oscillazioni attorno al suo valor medio, non dimenticandosi che anche gli eventuali avviamenti ed arresti della macchina danno origine a cicli di fatica, peraltro con ampiezze elevate, dei quali bisogna tenere conto e, soprattutto, non tralasciando di eseguire anche la verifica statica. 

Verifica alla deformazione

Nella progettazione degli alberi, soprattutto se sono lunghi ed in misura dipendente dalla specifica applicazione, anche le eccessive deformazioni (qui intese nel senso generico di rotazioni e spostamenti) costituiscono una condizione di malfunzionamento anche se non sono di natura permanente e non generano rotture. Tipicamente si deve verificare che le rotazioni in corrispondenza dei supporti siano coerenti con gli specifici cuscinetti utilizzati e che le rotazioni e gli spostamenti lungo l’asse dell’albero siano compatibili con i requisiti richiesti dagli organi di macchina calettati sull’albero: ad esempio, nel caso di una trasmissione ad ingranaggi, che non generino condizioni di ingranamento non accettabili.

I limiti e le specifiche condizioni da rispettare dipendono dall’applicazione, ma si possono anche dare dei criteri generali, che devono comunque essere rispettati in mancanza di indicazioni più dettagliate.

A titolo esemplificativo, per illustrare la metodologia, si mostra il calcolo degli spostamenti in un albero di sezione costante, sottoposto all’applicazione in un’unica sua sezione di due componenti di forza in piani perpendicolari (figura 1).

In ciascuno dei due piani (xz e yz) si calcola la massima “freccia”, mediante la seguente espressione:

nella quale compaiono la componente di forza (P), il momento d’inerzia rispetto all’asse corrispondente (J), il modulo di Young del materiale (E), la lunghezza dell’albero (l) e la posizione della forza (a, b).

Si calcola poi la massima freccia mediante composizione vettoriale:

In modo analogo, mediante espressioni che non vengono riportate, si possono calcolare le rotazioni, anch’esse da comporre vettorialmente:

Come indicazione di larga massima, si possono considerare i seguenti limiti:

freccia massima = l/3000

rotazione massima in radianti= 10^-3

Velocità critiche flessionali e torsionali

Anche l’esercizio di un albero in regimi di velocità prossimi a quelli corrispondenti alle frequenze proprie, costituisce una condizione da sottoporre a verifica. In un sistema complesso è sempre necessario uno studio finalizzato alla ricerca di tutti i modi di vibrare, che coinvolgono non solamente gli alberi ma tutte le parti dell’assieme, e delle corrispondenti frequenze proprie. Si considera qui il solo caso delle velocità critiche flessionali e torsionali dell’albero, nel più semplice caso che si possa ipotizzare.

Per le velocità critiche flessionali, si può considerare un albero sul quale sia calettata una sola massa (ruota dentata, puleggia, etc.), che sia schematizzabile mediante una trave senza massa, alla quale siano attribuite le caratteristiche di flessibilità, con una massa puntiforme m concentrata in una sua sezione.

Se immaginiamo che l’albero sia in rotazione e che il baricentro della massa, per effetto di una flessione dell’albero sia spostato di una quantità y, la massa sarà soggetta a due forze opposte tra di loro, dovute rispettivamente al richiamo elastico dell’albero e alla forza centrifuga derivante dall’eccentricità.

Con riferimento alla figura 2, nella quale viene anche indicata la formula per il calcolo della rigidezza dell’albero, la condizione critica per la velocità angolare di rotazione si ottiene uguagliano il richiamo elastico alla forza centrifuga, da cui si ottiene:

Per le velocità torsionali, si considera invece il caso di un albero, sul quale sono calettate due masse, ciascuna caratterizzata dal proprio momento d’inerzia, indicato rispettivamente con I₁ e I₂ (figura 3).

Indicando con l la lunghezza dell’albero e con J_p il momento polare d’inerzia della sezione dell’albero, si può scrivere la seguente espressione per la velocità critica torsionale:

Nella quale G indica il modulo di elasticità tangenziale del materiale.

Dal punto di vista pratico, al progettista è richiesto di assicurarsi che la velocità di rotazione dell’albero sia sufficientemente distante da quelle critiche, così da evitare le conseguenze derivanti dalle vibrazioni. Si tratta di una verifica che più frequentemente risulta limitante nel caso di alberi lunghi.