Gli ingranaggi rivestono una posizione di grande rilevanza tra gli organi meccanici utilizzati per realizzare le trasmissioni di moto e di potenza. L’applicazione più tipica è nei riduttori, che sono destinati a trasmettere la potenza tra un elemento motore ed un utilizzatore, modificandone i fattori –velocità e coppia – riducendo la prima ed incrementando di conseguenza la seconda. Più frequentemente si verifica infatti la condizione nella quale la potenza meccanica viene prodotta ad alto numero di giri e bassa coppia, da un motore elettrico o a combustione interna, ad esempio, a vantaggio delle dimensioni e della leggerezza, e successivamente la si adatta ad un utilizzatore che richiede invece coppie elevate a bassa velocità: esempi tipici si hanno negli autoveicoli, negli elicotteri e in molte altre applicazioni in ambito industriale. Vi sono però anche applicazioni nella quale la trasmissione ha la funzione di moltiplicatore, nelle cioè in cui la velocità viene invece incrementata, come nelle turbine eoliche con “gearbox”, nelle quali le pale ruotano a velocità molto bassa e azionano un generatore elettrico che, grazie all’interposizione di una trasmissione ad ingranaggi, ruota a velocità assai più elevate, anche in questo caso per ridurre le dimensioni e le masse complessive del sistema.
Con le trasmissioni si possono modificare non soltanto i moduli dei fattori della potenza, ma anche le direzioni, utilizzando architetture con assi ortogonali, o inclinati o sghembi. Queste diverse condizioni si possono ottenere grazie ad un’ampia varietà di geometrie di ingranaggi e delle relative dentature; la figura 1 mostra i tipi fondamentali di ingranaggi, classificati in base alla posizione relativa degli assi degli alberi che li sostengono: paralleli, concorrenti o sghembi.
Non va infine dimenticata la possibilità degli ingranaggi di trasformare anche la natura del moto, da rotatorio a lineare o viceversa, come ad esempio avviene nella combinazione pignone-cremagliera. La tipologia più frequente ed anche geometricamente più semplice è quella degli ingranaggi cilindrici ad assi paralleli, con profilo dei denti ad evolvente di cerchio, oggetto di questa trattazione.
L’evolvente di cerchio.
Nella quasi totalità dei casi il profilo dei denti delle ruote dentate segue una curva detta evolvente di cerchio. Tale curva, detta anche semplicemente evolvente (involute in inglese e developpante in francese), è il luogo descritto da un punto di una retta che rotola senza strisciare su di un cerchio, detto cerchio base, il cui diametro è indicato con db.
Come si vede dalla figura 2 il raggio di curvatura, ivi indicato progressivamente dai segmenti BB’, CC’, DD’, aumenta man mano ci sia allontana dal cerchio base (in corrispondenza del quale è nullo) e di conseguenza diminuisce la curvatura. Inoltre, se si considera un diametro d_b molto grande, tendente all’infinito, l’evolvente tende a divenire una retta.
Con riferimento alla figura 2, è possibile scrivere le seguenti equazioni che rappresentano l’evolvente in forma parametrica:
Al variare del parametro Ψ, il cui significato geometrico è visibile in figura, , R e Φ rappresentano le coordinate del generico punto in un sistema di riferimento polare. Le equazioni si ricavano osservando che, in virtù del rotolamento senza strisciamento, il segmento DD’ ha lunghezza uguale all’arco AD; pertanto l’angolo al centro AOD, che per definizione è uguale al rapporto AD/OD’ è anche uguale a DD’/OD. Considerando il triangolo ODD’, rettangolo in D, si può infine scrivere DD’/OD = tan Ψ e quindi che AOD (pari a φ + Ψ
è uguale a tan Ψ.
Si è soliti indicare come equazione dell’evolvente la seguente espressione:
inv (Ψ) = tan Ψ – Ψ
I valori di questa funzione al variare di Ψ sono oggi facilmente calcolabili, ma in passato erano riportati in forma tabulare su tutti i manuali degli ingranaggi.
Facendo ingranare due ruote dentate (realizzando cioè un ingranaggio) con denti con profilo ad evolvente, dalla definizione dell’evolvente deriva che la normale comune ai due profili nel punto di contatto risulta tangente ad entrambi i cerchi base, come visibile in figura 3: si ha quindi che la retta d’azione ha un’inclinazione che si mantiene costante al variare della posizione di ingranamento. Al procedere dell’ingranamento il punto di contatto si sposta lungo tale retta e la forza scambiata tra i due profili mantiene la stessa direzione durante l’intero ciclo (trascurando gli effetti degli attriti).
Dal punto di vista cinematico, la trasmissione è equivalente a quella generata avvolgendo una fune inestensibile incrociata sui due cerchi di base. Alla luce di questa analogia, la figura 4 mostra che una variazione di interasse tra i due cerchi di base non inficia le proprietà sopra descritte, perché si traduce solamente in una variazione dell’inclinazione della retta d’azione, cioè dell’angolo di pressione: da questa proprietà deriva la possibilità di realizzare ingranaggi con dentature con spostamento di profilo. Si segnala in particolare che la variazione dell’interasse non altera il rapporto di trasmissione.
Contribuisce a spiegare il successo del profilo ad evolvente una seconda proprietà, che si aggiunge alla precedente di natura funzionale, di natura tecnologica, cioè legata al processo di produzione ed in particolare al principio della generazione.
Per comprendere il processo di generazione si può immaginare di fare ingranare due ruote, l’una di un materiale rigido e con i denti già realizzati e l’altra grezza, di diametro appropriato e in materiale plastico, con la dentatura ancora da formare: coordinando opportunamente le velocità angolari delle due ruote e le posizioni relative, con l’obbiettivo di avere un moto relativo di puro rotolamento senza strisciamento in corrispondenza dei diametri primitivi, in virtù delle prerogative dell’evolvente, la ruota in materiale rigido plasma sul grezzo in materiale plastico una dentatura con il numero di denti e il profilo ad evolvente corrispondenti al diametro considerato. Tale proprietà è evidentemente valida anche per il caso in cui uno dei due elementi è la dentiera, per la quale l’evolvente diviene rettilineo, come mostrato in figura 5.
Dal punto di vista pratico, considerando un processo di costruzione per asportazione, si può immaginare che la dentiera sia un utensile con taglienti opportunamente affilati e che la ruota sia un grezzo metallico da lavorare: combinando il moto di generazione, che riproduce l’ingranamento, con un moto di taglio, cioè un molto alternativo dell’utensile perpendicolare al piano, si possono ottiene il taglio di una dentatura con profili dei denti ad evolvente. In altri termini, a patto di coordinare opportunamente i movimenti, il profilo ad evolvente, ancorché complesso, può essere ottenuto affilando un semplice tagliente rettilineo, con un vantaggio non difficile da comprendere, soprattutto se si immagina di fare un salto all’indietro nel passato, ritornando agli esordi degli ingranaggi. In modo del tutto analogo, si può immaginare che il profilo ad evolvente possa essere rettificato utilizzando mole con superfici piane.
Ingranaggi cilindrici a denti diritti
Alla luce dei concetti teorici sopra descritti, le ruote dentate costituenti l’ingranaggio devono ora essere materializzate, realizzando fisicamente i denti, nel numero necessario ad ottenere il rapporto di trasmissione desiderato e di dimensioni opportunamente proporzionate. Seguono i principali elementi necessari a identificare l’ingranaggio, nel caso più semplice di ingranaggi cilindrici denti diritti, cioè ottenuti estrudendo un profilo piano nella direzione longitudinale coincidente con gli assi delle ruote.
Dalla definizione dell’evolvente appare evidente che la specifica forma del profilo dipende dal valore del diametro di base considerato, che a sua volta dipende dalla combinazione di dimensione e numero dei denti: per questo motivo le proporzioni dei denti vengono definite facendo riferimento alla dentiera, che corrisponde a un diametro di base infinito (e quindi ad un numero di denti infinito), e utilizzando un proporzionamento modulare, cioè introducendo un fattore di scala (modulo) con il quale si possono scalare le proporzioni su dimensioni diverse (figura 6).
Numero di denti, z1, z2 , rispettivamente di ciascuna delle due ruote
Rapporto di trasmissione, pari al rapporto tra le velocità angolari ed anche al reciproco di quello dei numeri di denti τ = ω2/ω1 = z1/z2
Cerchi base: cerchi che definiscono l’evolvente, di diametri db1, db2
Cerchi primitivi: cerchi concentrici con i cerchi di base, in contatto con rotolamento senza strisciamento, con moto cinematicamente equivalente a quello dell’ingranaggio, di diametri d1, d2
Angolo di pressione: α, angolo di inclinazione della retta d’azione rispetto alla normale alla congiungente i centri delle due ruote dentate
Modulo: m = d/z
Passo (sul primitivo): p = π ・m = π d/z
Addendum: ha = m
Dedendum: hf = 1,25 m
Altezza del dente: h = ha + hf
Interasse: a = (d1 /2) + (d2 /2)
Fenomeni di interferenza
Quando si considera l’ingranamento di dentature ad evolvente con numeri di denti piccoli, si possono verificare fenomeni di interferenza che, facendo riferimento alla fase di costruzione, si indicano con il termine di sottotaglio: la figura 8 mostra una condizione per la quale, in conseguenza del ridotto numeri di denti della ruota che si sta costruendo, si vede che il profilo della dentiera genera una porzione di profilo del dente che si trova all’interno rispetto al cerchio di base e che pertanto non può essere una porzione del profilo ad evolvente.
Il limite minimo di denti minimo per evitare il sottotaglio è funzione dell’angolo di pressione ed è dato dalla formula seguente:
zmin = 2/sin 2α
Con un angolo di pressione di 20° si avrebbe un numero di denti minimo pari a 17,1: in realtà, il numero di denti minimo risulta inferiore perché tale valore si riferisce alla condizione teorica di dentiera con spigolo vivo, mentre in pratica in testa alla dentiera si ha un raccordo. Va infine ricordato che il numero di denti minimo realizzabile può essere ulteriormente ridotto utilizzando lo spostamento di profilo.
